Đến nội dung

Hình ảnh

(X^T)AY = (X^T)BY. Chứng minh A = B

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nhanngoc

nhanngoc

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
Cho A và B là ma trận vuông thực cấp n sao cho:XTAY = XTBY cho tất cả X, Y ∈ Mnx1®. Chứng minh A = B

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhanngoc: 20-08-2012 - 19:41


#2
vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết


Cho A và B là ma trận vuông thực cấp n sao cho:XTAY = XTBY cho tất cả X, Y ∈ Mnx1®. Chứng minh A = B


Ta đặt:

 

$X=(x_{i1})_{n\times 1}$
$X^{T}=(x_{1j})_{1\times n}$
$Y=(y_{i1})_{n\times 1}$
$A=(a_{ij})_{n\times n}$
$B=(b_{ij})_{n\times n}$

 

Ta có:


$X^{T}A=(c_{1j})_{1\times n}$ với $c_{1j}=\sum_{k=1}^{n}x_{1k}a_{kj}=\sum_{i=1}^{n}x_{1i}a_{ij}$
$X^{T}AY=(d_{11})_{1\times 1}$ với $d_{11}=\sum_{k=1}^{n}c_{1k}y_{k1}=\sum_{j=1}^{n}c_{1j}y_{j1}=\sum_{j=1}^{n}\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{1i}a_{ij} \right ).y_{j1}$
$X^{T}B=(e_{1j})_{1\times n}$ với $e_{1j}=\sum_{k=1}^{n}x_{1k}b_{kj}=\sum_{i=1}^{n}x_{1i}b_{ij}$
$X^{T}BY=(f_{11})_{1\times 1}$ với $f_{11}=\sum_{k=1}^{n}e_{1k}y_{k1}=\sum_{j=1}^{n}e_{1j}y_{j1}=\sum_{j=1}^{n}\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{1i}b_{ij} \right ).y_{j1}$

Theo giả thuyết


$X^{T}AY=X^{T}BY \Leftrightarrow d_{11}=f_{11} \Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij},\forall 1\leqslant i,j\leqslant n \Leftrightarrow A=B$
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 07-10-2013 - 07:39

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh