Chủ đề này có 3 trả lời

[vo van duc]

Cho ma trận $A=\begin{bmatrix} 3 & -5\\ 1 & -1 \end{bmatrix}$
Tính $A^{n}$ với $n\in N$

[dark templar]

Cho ma trận $A=\begin{bmatrix} 3 & -5\\ 1 & -1 \end{bmatrix}$
Tính $A^{n}$ với $n\in N$

Ta sẽ sử dụng kiến thức dãy số của THPT để giải quyết
Ta không xét trường hợp $n=0$ vì nó rất đơn giản.
Xét $n \in \mathbb{N^*}$ và:
$$A^{n}=\begin{pmatrix} a_{n}& b_{n}\\ c_{n} & d_{n} \end{pmatrix}$$
Trong đó $a_{n};b_{n};c_{n};d_{n}$ là các dãy số thỏa mãn hệ sau,theo cách tính của phép nhân ma trận và công thức cơ bản $A^{k}=A^{k-1}.A(\forall k \ge 1)$:
$$\left\{\begin{matrix} a_{n+1}=a_{n}a_1+b_{n}c_1=3a_{n}+b_{n}(1) \\ b_{n+1}=a_{n}b_1+b_{n}d_1=-5a_{n}-b_{n}(2) \\ c_{n+1}=3c_{n}+d_{n}(3) \\ d_{n+1}=-5c_{n}-d_{n}(4) \\ a_1=3;b_1=-5;c_1=1;d_1=-1 \end{matrix}\right.$$
Lấy (1) cộng với (2),ta thu được:
$$b_{n+1}=-2a_{n}-a_{n+1};\forall n \in \mathbb{N^*} \iff b_{n}=-2a_{n-1}-a_{n};\forall n \in \mathbb{N^*}(5)$$
Thay (5) vào (1),ta có:
$$a_{n+1}=2(a_{n}-a_{n-1});\forall n \in \mathbb{N^*}$$
Đây là dãy tuyến tính cơ bản nẹn ta có:
$$a_{n}=2^{\frac{n}{2}}\left(\cos{\frac{n\pi}{4}}+2\sin{\frac{n\pi}{4}} \right);\forall n \in \mathbb{N^*}$$
Tương tự ta cũng có dãy $\{c_{n} \}$ xác định như sau:
$$\{c_{n} \}:\left\{\begin{matrix} c_1=1;c_2=2 & \\ c_{n+1}=2(c_{n}-c_{n-1});\forall n \in \mathbb{N^*}& \end{matrix}\right.$$
$\implies c_{n}=2^{\frac{n}{2}}\sin{\frac{n\pi}{4}};\forall n \in \mathbb{N^*}$.
Ta còn lại 2 dãy $\{b_{n} \};\{d_{n} \}$.Dễ thấy:
$$\{b_{n} \}:\left\{\begin{matrix} b_1=-5;b_2=-10 \\ b_{n+1}=-b_{n}-5.2^{\frac{n}{2}}\left(\cos{\frac{n\pi}{4}}+2\sin{\frac{n\pi}{4}} \right );\forall n \in \mathbb{N^*} \end{matrix}\right.$$
$$\{d_{n}\}:\left\{\begin{matrix} d_1=-1 ;d_2=-4\\ d_{n+1}=-d_{n}-5.2^{\frac{n}{2}}\sin{\frac{n\pi}{4}};\forall n \in \mathbb{N^*} \end{matrix}\right.$$
Nhưng công thức của 2 dãy này khá là phức tạp vì nó thuộc dạng tuyến tính không thuần nhất có chứa hàm lượng giác.Cái này có lẽ bạn nên tham khảo Dãy số của thầy Nguyễn Văn Mậu để có câu trả lời vì mình không còn nhớ chính xác công thức để tìm dãy trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 27-09-2012 - 21:02

[vo van duc]

Đây là bài trong đề dự tuyển của Đại học Quy Nhơn trong kỳ thi Olympic toán Sinh viên năm 2011.
Xin đưa đáp án của ĐH Quy Nhơn.
............................................................
Đặt $B=A-(1-i)I=\begin{bmatrix} 2+i & -5\\ 1 & -2+i \end{bmatrix}$
Ta có: $B^{2}=2i.B$
Quy nạp ta có: $B^{k}=(2i)^{k-1}.B$ với $k\in N^{*}$
Suy ra:
$A^{n}=\left ( (1-i)I+B \right )^{n}=(1-i)^{n}.I+\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}.(1-i)^{n-k}.B^{k}$
$=(1-i)^{n}.I+\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}.(1-i)^{n-k}.(2i)^{k-1}.B$
$=(1-i)^{n}.I+\left ( \frac{(1+i)^{n}-(1-i)^{n}}{2i} \right ).B$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 05-10-2012 - 21:31

[dark templar]

Cho mình hỏi có phải tính chất của ma trận số phức cũng giống số thực ? Bạn có cách nào giải mà không dùng số phức không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 09-10-2012 - 18:27