Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán :
Cho các số dương $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x}{xy+1}+\dfrac{y}{yz+1}+\dfrac{z}{zx+1} \ge \dfrac{36xyz}{13xyz+1}$$

[WhjteShadow]

Bài toán :
Cho các số dương $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x}{xy+1}+\dfrac{y}{yz+1}+\dfrac{z}{zx+1} \ge \dfrac{36xyz}{13xyz+1}$$

Đầu tiên ta sẽ chứng minh bổ đề quen thuộc sau:
Bổ đề: $\forall x,y,z>0,x+y+z=1$ thì
$$x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leq \frac{4}{27}$$
Chứng minh: Giả sử $y$ là số nằm giữa $x$ và $z$ ta có:
$$(y-z)(y-x)\leq 0\Leftrightarrow z(y-z)(y-x)\leq 0\Leftrightarrow y^2z+z^2x\leq yz^2+xyz$$
$$\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leq x^2y+yz^2+2xyz=y(x+z)^2$$
$$=\frac{2y(x+z)(x+z)}{2}\leq \frac{8(x+y+z)^3}{2.27}=\frac{4}{27}$$
Quay trở lại với bài toán.Áp dụng $Cauchy-Schwarz$ và bổ đề trên ta có:
$$\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}=\frac{x^2}{x^2y+x}+\frac{y^2}{y^2z+y}+\frac{z^2}{z^2x+z}$$
$$\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+x+y+z}\geq \frac{1}{\frac{31}{27}-xyz}$$
Đặt $xyz=t(0<t\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}=\frac{1}{27})$.Chúng ta cần chứng minh:
$$\frac{1}{\frac{31}{27}-t}\geq \frac{36t}{13t+1}$$
$$\Leftrightarrow 13t+1\geq 36t(\frac{31}{27}-t)$$
$$\Leftrightarrow 36t^2+1-\frac{85}{3}t\geq 0$$
$$\Leftrightarrow (t-\frac{1}{27})(36t-27)\geq 0$$
Nhưng bất đẳng thức cuối lại luôn đúng do $t\leq \frac{1}{27}$
Vậy bài toán được chứng minh.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$ $\blacksquare $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 25-08-2012 - 19:35