Chủ đề này có 13 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 31/08/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 2 có 22 toán thủ tham gia nên sau trận này, 01 toán thủ ít điểm nhất sẽ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

[L Lawliet]

Đề trận 2: Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$. Đường tròn $(O)$ đi qua $B$, $C$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt ở $D$, $E$ ($D\neq B$, $E\neq C$). Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $ADE$. Chứng minh rằng: $BE$, $CD$, $HK$ đồng quy.

-MSS11 duongdl-

(Toán thủ duongdl không phải làm bài)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 31-08-2012 - 20:22

[BlackSelena]

Bài làm của MSS01 - BlackSelena

Dựng hình bình hành $BHCP$ và hình bình hành $IHCQ$. $BE \cap CD = I$, ta sẽ chứng minh $K,I,H$ thẳng hàng
Ta có: $BDEC:tgnt$
$\Rightarrow \angle ADE = \angle ACB$,
Mặt khác, $DK \parallel BH$ do cùng $\perp AC$
$\Rightarrow \angle ADK = \angle ABH$, dễ dàng chứng minh $\angle ABH = \angle ACH$
$\Rightarrow \angle ADK = \angle ACH$
Vậy $\angle ADE - \angle ADK = \angle ACB - \angle ACH$
$\Rightarrow \angle KDE = \angle HCB.$
Chứng minh tuơng tự, ta cũng có $\angle KED = \angle HBC$
$\Rightarrow \triangle KDE \sim \triangle HCB$
$\Rightarrow \frac{KE}{BH} =\frac{KE}{CP} = \frac{DE}{BC}$(.)
Mà do $BDEC$ là tứ giác nội tiếp nên dễ dàng chứng minh $\triangle DIE \sim \triangle BIC$
$\Rightarrow \frac{DE}{BC} = \frac{IE}{IC}$(..)
Từ $(.)$ và $(..)$ suy ra $\frac{KE}{CP} = \frac{IE}{IC}$
Mặt khác, ta có: $\widehat{IEK}=\widehat{IED}+\widehat{KED}=\widehat{ICB}+\widehat{HBC}=\widehat{ICB}+\widehat{BCP}=\widehat{ICP}$
Vậy $\triangle IEK$ và $\triangle ICP$ có $\angle IEK = \angle IPC \\ \frac{IE}{IC} = \frac{KE}{CP}$
$\Rightarrow \triangle IEK \sim \triangle IPC$
$\Rightarrow \angle KIE = \angle PIC$
Mặt khác, do $IH \parallel QC \\ BH \parallel PC \\ BI \parallel PQ$
Nên tứ giác $BIQP$ là hình bình hành.
$\Rightarrow \angle BIH + \angle HIQ = 180^o - \angle IQP$
$\Leftrightarrow \angle BIH + 180^o - \angle IQC = 180^o - (\angle IQC - PQC) \Leftrightarrow \angle BIH = \angle PQC$. Tuơng tự ta cũng có $\angle HBI = \angle CPQ$
Ta có $\angle QPC = \angle IBH = \angle ABH - \angle ABI = \angle ACH - \angle ACI = \angle ICH = \angle CIQ$
$\Rightarrow PICQ:tgnt$
$\Rightarrow \angle BIH = \angle PQC = \angle PIC = \angle KIE$
Vậy $\angle BIH + \angle BIK = \angle BIK + \angle KIE = 180^o$. Vậy $K,I,H$ thằng hàng.
$\boxed{\text{Kết luận}} BE,CD,KH:\text{ đồng quy}$
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điếm: $S=52-(23-20)+3.10+0+0=79$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 03-09-2012 - 10:43

[daovuquang]

Bài làm của daovuquang:

Cho $BE \cap CD = F$. Không giảm tính tổng quát, giả sử $F$ nằm giữa $H$ và $K$ (như hình trên).
Dựng hình bình hành $BHCM$ và hình bình hành $FHCN$. Ta sẽ chứng minh $K,F,H$ thẳng hàng hay $\widehat{BFK}+\widehat{BFH}=180^o$.
Nhìn hình vẽ ta thấy $BDEC$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{ADE}= \widehat{ACB}$,
Mặt khác, $DK \parallel BH$ (cùng vuông góc với $AC$)
$\Rightarrow \widehat{ADK}= \widehat{ABH}$; dễ dàng chứng minh $\widehat{ABH}= \widehat{ACH}$
$\Rightarrow \widehat{ADK}= \widehat{ACH}.$
$\Rightarrow \widehat{ADE}- \widehat{ADK}= \widehat{ACB}- \widehat{ACH}$
$\Rightarrow \widehat{KDE}= \widehat{HCB}.$
Tương tự, có $\widehat{KED}= \widehat{HBC}$
$\Rightarrow \triangle KDE \sim \triangle HCB$
$\Rightarrow \frac{KE}{CM} = \frac{DE}{BC}.(1)$
Lại có $BDEC$ là tứ giác nội tiếp nên dễ dàng chứng minh $\triangle DFE \sim \triangle BFC$.
$\Rightarrow \frac{DE}{BC} = \frac{FE}{FC}.(2)$
Từ $(1),(2)\Rightarrow \frac{KE}{CM} = \frac{FE}{FC}.(3)$
Mặt khác, ta có: $\widehat{FCM}=\widehat{FCB}+\widehat{BCM}$
$=\widehat{FCB}+\widehat{HBC}$
$=\widehat{FED}+\widehat{KED}=\widehat{FEK}.(4)$
Từ $(3),(4) \Rightarrow \triangle FEK \sim \triangle FMC$
$\Rightarrow \widehat{KFE}= \widehat{MFC}.$
Vì $BHCM$ là hbh $\Rightarrow BM//HC$ và $BM=HC$; $FNCH$ là hbh $\Rightarrow HC//FN$ và $HC=FN \Rightarrow BM//FN$ và $BM=FN \Rightarrow BFNM$ là hbh $\Rightarrow BF=MN$.
Khi đó $\triangle BFH=\triangle MNC (c.c.c) \Rightarrow \widehat{BHF}=\widehat{MCN}$ và $\widehat{HBF}=\widehat{CMN}$.
Lại có: $\widehat{HBF}= \widehat{ABH} - \widehat{ABF}$
$= \widehat{ACH}- \widehat{ACF}$
Suy ra $\widehat {FCH} = \widehat{CFN}$
$\Rightarrow \widehat{CFN}=\widehat{CMN}$
$\Rightarrow MFCN$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{BFH}= \widehat{MNC}= \widehat{MFC}= \widehat {KFE}.$
Vậy $\widehat{BFK}+ \widehat{BFH}= \widehat{BFK}+ \widehat{KFE} = 180^o \Rightarrow K,F,H$ thằng hàng.
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $S=52-(34-20)+3.10+0+0=68$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 03-09-2012 - 11:04

[nguoihungthamlang98]

Lâu lắm không có thời gian lên.Mộp bài trễ chắc bị trừ điểm
Bài làm của MSS02:nguoihungthamlang98:
Cho BE cắt CD tại I.Ta các dựng hình bình hành $BHCP$ và hình bình hành $IHCQ$. , ta sẽ chứng minh $K,I,H$ thẳng hàng
Ta có: B,D,E,C thuộc (O) nên BDEC nội tiếp.
$\Rightarrow \angle ADE = \angle ACB$
Mặt khác, $DK // BH$(cùng $\perp AC$)
$\Rightarrow \angle ADK = \angle ABH (SLT)$.Mặt khác:
$\angle ABH+\angle BAH+\angle ACH+\angle AHC=180^0-\angle A\Rightarrow \angle ABH+\angle ACH=180^0-2\angle A=2\angle ABH\Rightarrow \angle ABH=\angle ACH$
$\Rightarrow \angle ADK = \angle ACH$
Vậy $\Rightarrow \angle KDE = \angle HCB.$
Chứng minh tuơng tự, ta cũng có $\angle KED = \angle HBC$
$\Rightarrow \triangle KDE \sim \triangle HCB$
$\Rightarrow \frac{KE}{BH} =\frac{KE}{CP} = \frac{DE}{BC}$
Mà do $BDEC$ là tứ giác nội tiếp nên dễ dàng chứng minh $\triangle DIE \sim \triangle BIC$
$\Rightarrow \frac{DE}{BC} = \frac{IE}{IC}$
Từ $(.)$ và $(..)$ suy ra $\frac{KE}{CP} = \frac{IE}{IC}$
Mặt khác, ta có: $\widehat{IEK}=\widehat{IED}+\widehat{KED}=\widehat{ICB}+\widehat{HBC}=\widehat{ICB}+\widehat{BCP}=\widehat{ICP}$
Vậy $\triangle IEK$ và $\triangle ICP$ có $\angle IEK = \angle IPC \\ \frac{IE}{IC} = \frac{KE}{CP}$
$\Rightarrow \triangle IEK \sim \triangle IPC$
$\Rightarrow \angle KIE = \angle PIC$
Mặt khác, do $IH // QC \\ BH // PC \\ BI // PQ$
$\Rightarrow \angle BIH + \angle HIQ = 180^o - \angle IQP$ (chưa chứng minh $BIQP$ là hình bình hành sao suy ra được nhỉ )
$\Leftrightarrow \angle BHI + 180^o - \angle IQC = 180^o - (\angle IQC - PQC) \Leftrightarrow \angle BIH = \angle PQC$. Tuơng tự ta cũng có $\angle HBI = \angle CPQ$ (nhầm góc rồi!)
Ta có $\angle QPC = \angle IBH = \angle ABH - \angle ABI = \angle ACH - \angle ACI = \angle ICH = \angle CIQ$
$\Rightarrow PICQ$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow \angle BIH = \angle PQC = \angle PIC = \angle KIE$
Vậy $\angle BIH + \angle BIK = \angle BIK + \angle KIE = 180^o$. Vậy $K,I,H$ thằng hàng.
Vậy $BE,CD,HK$ đồng quy tại $I (ĐPCM)$
----
Điểm bài làm: 8
Tổng điểm: $S=52-(42-20)+3.8+0+0=54$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 03-09-2012 - 11:00

[mathnam]

Gọi F là giao điểm của BE và CH
Gọi I là giao điểm của CD và BE .
Ta phải CM: KH đi qua I
vậy nên ta phải K,I,H thẳng hàng

Vì HK,EF cắt 2 đường thẳng song song KE và CH(KE,CH cùng vuông góc với AB)
Nên:
$\widehat{IKE}=\widehat{IHF}$ và $\widehat{IEK} = \widehat{IFH}$ (so le trong) (mục đích của em là chứng minh $K$, $I$, $H$ thẳng hàng mà ở đoạn này là công nhận nó thẳng hàng mất rồi!).
$\Leftrightarrow 180^{o}-(\widehat{IKE}+\widehat{IEK})=180^{o}-(\widehat{IHF}+\widehat{IFH}) \Leftrightarrow \widehat{KIE}=\widehat{FIH}.
Mà \widehat{DIB}=\widehat{EIC}$ (đối đỉnh)
Suy ra $\widehat{KIE}+\widehat{EIC}=\widehat{FIH}+\widehat{DIB}$
$\Leftrightarrow \widehat{KIC}=\widehat{DIH} \Leftrightarrow \widehat{KIC} + \widehat{HIC}=\widehat{DIH} + \widehat{HIC} \Leftrightarrow \widehat{KIH}= \widehat{DIC}=180^{o}$
Vậy K,I,H thẳng hàng

Kết luận : 3 đường thẳng BE, CD, HK đồng quy tại I.
----
Sai từ bước đầu tiên nên dẫn đến cả bài sai.
Điểm bài làm: 0
Tổng điểm: $52-(43-20)+3.0+0+0=30$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 03-09-2012 - 11:10

[nguoihungthamlang98]

Rất xin lỗi vì tỏng quá trình giải mình đã sơ sót quên post hình vẽ.Mong BTC thông cảm giùm mình.
Đây là hình vẽ Bài làm của mình:

[caybutbixanh]

gọi F là giao điểm của BE và CD . xét 3 trường hợp
1, O là trung điểm của BC
ta có $\Delta BDC$ vuông tại B do OD=OB=OC => CD vuông góc AB (1)
lại có : CH vuông góc AB (gt) (2)
từ (1) và(2)=>CD VÀ CH trùng nhau => $H \equiv I$=> ba đường BE,CD,HK đồng quy tại H
2, O nằm trên đường trung trực BC khác phía với A
3, O nằm trên đường trung trực BC cùng phía với A
xin lỗi trọng tài trường hợp 2,3 em chưa làm ra.........
----
Điểm bài làm: 2
Tổng điểm: $S=52-(49-20)+3.2+0+0=29$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 03-09-2012 - 10:48

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc. Các toán thủ hãy nhận xét bài làm của nhau.

Chú ý: toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

[mathnam]

Em post hinh len roi ma tai sao khong thay?
chet em roi...
----------------------------------
@binhmetric: Bạn xem lại cách đưa hình lên diễn đàn nhá.@_^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 03-09-2012 - 10:17

[L Lawliet]

Thứ 2, ngày 3/ 9/ 2012. Các toán thủ đã nộp bài làm (theo thứ tự thời gian):
1) BlackSelena: Đã gửi 31-08-2012 - 23:44
2) daovuquang: Đã gửi 01-09-2012 - 10:26
3) nguoihungthamlang98:
Đã gửi Hôm qua, 14:52; Post thêm hình: Đã gửi Hôm qua, 15:30
4) mathnam: Đã gửi Hôm qua, 15:24
5) caybutbixanh: Đã gửi Hôm qua, 21:08
-----------------------------------------------------
Đề và Đáp án MSS2013 trận 2 của toán thủ duongdl (lần sau nộp hình nữa nhé em).
Đề trận 2: Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$. Đường tròn $(O)$ đi qua $B$, $C$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt ở $D$, $E$ ($D\neq B$, $E\neq C$). Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $ADE$. Chứng minh rằng: $BE$, $CD$, $HK$ đồng quy.

-MSS11 duongdl-

(Toán thủ duongdl không phải làm bài)

Lời giải:

Vẽ các hình bình hành $HBMC$, $IHCN$.

Ta có: $\widehat{ADE}=\widehat{ECB},\widehat{ADK}=\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\Rightarrow \widehat{KDE}=\widehat{HCB}$.

Chứng minh tượng tự có: $\widehat{KED}=\widehat{HBC}$.

Do đó tam giác $KDE$ đồng dạng với tam giác $HCB(g.g)\Rightarrow \dfrac{KE}{BH}=\dfrac{DE}{BC}$.

Mà tam giác $IDE$ đồng dạng với tam giác $IBC(g.g)\Rightarrow \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{IE}{IC}$.

Do đó $\dfrac{IE}{IC}=\dfrac{KE}{BH}=\dfrac{KE}{CM}$.

Mà $\widehat{IEK}=\widehat{IED}+\widehat{KED}=\widehat{ICH}+\widehat{HBC}=\widehat{ICH}+\widehat{BCM}=ICM$.

Xét tam giác $IEK$ và tam giác $ICM$ có $\widehat{IEK}=\widehat{ICM}$, $\dfrac{IE}{IC}=\dfrac{KE}{CM}$.

Do đó tam giác $IEK$ đồng dang với tam giác $ICM(c.g.c)\Rightarrow \widehat{KIE}=\widehat{MIC}$.

Ta có: $\widehat{NMC}=\widehat{IBH}=\widehat{ABH}-\widehat{ABI}=\widehat{ACH}-\widehat{ACI}=\widehat{ICH}=\widehat{NIC}$

Nên tứ giác $MINC$ nội tiếp ta có $\widehat{BIH}=\widehat{MNC}=\widehat{MIC}=\widehat{KIE}$

Do đó :$\widehat{BIK}+\widehat{BIH}=\widehat{BIK}+\widehat{KIE}=180^{\circ}\Rightarrow H,I,K$ thẳng hàng

Vậy $BE,CD,HK$ đồng quy.
---------------------------------------------------------------
@binhmetric: Để tiện theo dõi đáp án, mình post thêm cái hình:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 03-09-2012 - 10:49

[L Lawliet]

Điểm toán thủ ra đề (duongdl): $D_{rd}=4.(23-20)+2.17+2.0=46$
----
Tổng hợp điểm [MSS2013] Trận 2 - Hình học.
MSS 01: Black Selena [79]
MSS 09: daovuquang [68]
MSS 02: nguoihungthamlang [54]
MSS 15: mathnam [30]
MSS 20: caybutbixanh [29]
Các toán thủ không nộp bài sẽ tính là 0 điểm ở trận này, mọi thắc mắc về bảng điểm xin comment ở đây, hạn chót để phúc khảo là 24h ngày 3/9/2013.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 03-09-2012 - 12:29

[Beautifulsunrise]

Đề trận 2: Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$. Đường tròn $(O)$ đi qua $B$, $C$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt ở $D$, $E$ ($D\neq B$, $E\neq C$). Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $ADE$. Chứng minh rằng: $BE$, $CD$, $HK$ đồng quy.

-MSS11 duongdl-

(Toán thủ duongdl không phải làm bài)

Cách khác:

[L Lawliet]

sao $n_{klb}$ của em lại là $0$ có đến 17 bạn không làm bài mà @@

Xin lỗi em :@) anh ghi nhầm :@) đã sửa :@)