Chủ đề này có 2 trả lời

[1111308]

Cho tam giác $ABC$ với độ dài ba cạnh là $a, b, c$ và độ dài các đường trung tuyến tương ứng là $ m_a,m_b,m_c$. Với mỗi số thực $k$ đặt
$$S_k= \left( \dfrac{a^k+b^k+c^k}{m_a^k+m_b^k+m_c^k} \right)^{\dfrac{1}{k}}$$

 

1) Tính $ \lim_{k \to 0}S_k$
2) Định dạng tam giác $ABC$ để cho $ S_k$ không phụ thuộc vào $k$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-03-2014 - 19:00

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng      cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng      sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 14/03 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng      sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

[chanhquocnghiem]

Cho tam giác $ABC$ với độ dài ba cạnh là $a, b, c$ và độ dài các đường trung tuyến tương ứng là $ m_a,m_b,m_c$. Với mỗi số thực $k$ đặt
$$S_k= \left( \dfrac{a^k+b^k+c^k}{m_a^k+m_b^k+m_c^k} \right)^{\dfrac{1}{k}}$$

 

1) Tính $ \lim_{k \to 0}S_k$
2) Định dạng tam giác $ABC$ để cho $ S_k$ không phụ thuộc vào $k$.

$1)$

$\lim_{k\rightarrow 0}S_{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\left ( \frac{a^{k}+b^{k}+c^{k}}{m_{a}^{k}+m_{b}^{k}+m_{c}^{k}} \right )^{\frac{1}{k}}$

$=\lim_{k\rightarrow 0}\left (1+ \frac{a^{k}+b^{k}+c^{k}-m_{a}^{k}-m_{b}^{k}-m_{c}^{k}}{m_{a}^{k}+m_{b}^{k}+m_{c}^{k}} \right )^{\frac{1}{k}}$

$=\lim_{k\rightarrow 0}\left [ \left (1+ \frac{a^{k}+b^{k}+c^{k}-m_{a}^{k}-m_{b}^{k}-m_{c}^{k}}{m_{a}^{k}+m_{b}^{k}+m_{c}^{k}} \right )^{\frac{m_{a}^{k}+m_{b}^{k}+m_{c}^{k}}{a^{k}+b^{k}+c^{k}-m_{a}^{k}-m_{b}^{k}-m_{c}^{k}}} \right ]^{\frac{a^{k}+b^{k}+c^{k}-m_{a}^{k}-m_{b}^{k}-m_{c}^{k}}{k(a^{k}+b^{k}+c^{k})}}$

Mà $\lim_{k\rightarrow 0}\left [ \left (1+ \frac{a^{k}+b^{k}+c^{k}-m_{a}^{k}-m_{b}^{k}-m_{c}^{k}}{m_{a}^{k}+m_{b}^{k}+m_{c}^{k}} \right )^{\frac{m_{a}^{k}+m_{b}^{k}+m_{c}^{k}}{a^{k}+b^{k}+c^{k}-m_{a}^{k}-m_{b}^{k}-m_{c}^{k}}} \right ]=e$

Còn $\lim_{k\rightarrow 0}\frac{a^{k}+b^{k}+c^{k}-m_{a}^{k}-m_{b}^{k}-m_{c}^{k}}{k}$

$=\lim_{k\rightarrow 0}\left (a^{k}lna+b^{k}lnb+c^{k}lnc-m_{a}^{k}lnm_{a}-m_{b}^{k}lnm_{b}-m_{c}^{k}lnm_{c} \right )$

$=lna+lnb+lnc-lnm_{a}-lnm_{b}-lnm_{c}=\ln\frac{abc}{m_{a}m_{b}m_{c}}$

(ở đây áp dụng quy tắc l'Hospital)

Và $\lim_{k\rightarrow 0}\frac{1}{a^{k}+b^{k}+c^{k}}=\frac{1}{3}$

Vậy :

$\lim_{k\rightarrow 0}S_{k}=e^{\frac{1}{3}\ln\frac{abc}{m_{a}m_{b}m_{c}}}=\sqrt[3]{\frac{abc}{m_{a}m_{b}m_{c}}}$

 

$2)$

Ta có :

$\lim_{k\rightarrow 0}S_{k}=\sqrt[3]{\frac{abc}{m_{a}m_{b}m_{c}}}=\frac{3\sqrt[3]{abc}}{3\sqrt[3]{m_{a}m_{b}m_{c}}}$

$S_{1}=\frac{a+b+c}{m_{a}+m_{b}+m_{c}}$ 

Để $S_{k}$ không phụ thuộc vào $k$, ta phải có $S_{k}=\lim_{k\rightarrow 0}S_{k},\forall k\in \mathbb{R}$ ($k\neq 0$) $\Rightarrow$ $S_{1}=\lim_{k\rightarrow 0}S_{k}$ 

hay $\frac{a+b+c}{m_{a}+m_{b}+m_{c}}=\frac{3\sqrt[3]{abc}}{3\sqrt[3]{m_{a}m_{b}m_{c}}}$ (1)

Chú ý rằng $a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}$ (2)

và $m_{a}+m_{b}+m_{c}\geqslant 3\sqrt[3]{m_{a}m_{b}m_{c}}$ (3)

và các dấu bằng chỉ xảy ra đồng thời ở (2) và (3) khi $a=b=c$, tức là điều kiện để $S_{k}$ không phụ thuộc vào $k$ là tam giác $ABC$ đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 13-03-2014 - 18:31