Chủ đề này có 3 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{a+c-b}}{\sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c+b-a}}{\sqrt{c}+\sqrt{b}-\sqrt{a}}\leq 3$$
Bài toán 2.[Nguồn onluyentoan]:
Ch0 $x,y>0$ thỏa mãn $xy<1$.Chứng minh rằng:
$$\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)^2+\left(\frac{2y}{y^2+1}\right)^2\leq \frac{1}{1-xy}$$

[tim1nuathatlac]

minh len = dt nen ko tien lam
bai nay minh xin goi y
sd bdt 3(a2+b2+c2)»=(a+b+c)2
sau do sd bdt Schur suy rong
---------------------------
Hăng hái thế Lên = máy tính rồi giải cũng được mà cậu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 13-09-2012 - 11:08

[tim1nuathatlac]

Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{a+c-b}}{\sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c+b-a}}{\sqrt{c}+\sqrt{b}-\sqrt{a}}\leq 3$$

Bây giờ mới có máy tính, làm nhanh nào

ta có $\left ( a+b+c \right )^{2}\leq 3\left ( \sum a^{2} \right )$

Áp dụng BĐT trên ta cần cm $\sum \frac{a+b-c}{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^{2}}\leq 3$

$\Leftrightarrow \sum \left ( 1-\frac{a+b-c}{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^{2}} \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( \sqrt{c}-\sqrt{a} \right )\left ( \sqrt{c}-\sqrt{b}\right )}{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^{2}}\geq 0$

Mặt khác ta có bđt $Schur$ suy rộng như sau Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z sao cho $\left ( a,b,c \right )$ và $\left ( x,y,z \right )$ là các bộ số đơn điệu khi đó $x\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )+y\left ( b-a \right )\left ( b-c \right )+z\left ( c-a \right )\left ( c-b \right )\geq 0$

Trở lại bài toán $x=\frac{1}{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^{2}}$, $y=\frac{1}{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{b} \right )^{2}}$, $z=\frac{1}{\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a} \right )^{2}}$

Gs $a\geq b\geq c$ $\Leftrightarrow x\leq y\leq z$ $\Rightarrow Q.e.D$

[barcavodich]

Bài toán 1 ta giải như sau
Đặt $ x=\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a} $ , $y=\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}$ , $z=\sqrt{}a+\sqrt{b}-\sqrt{c}$
$\Rightarrow x^2=b+c+a+2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}-2\sqrt{ab}$
$\Rightarrow b+c-a=x^2-\frac{1}{2}(x-y)(x-z)$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}=\sqrt{1-\frac{(x-y)(x-z)}{2x^2}}\leq 1-\frac{(x-y)(x-z)}{4x^2}$
nên BĐT $\Leftrightarrow \sum x^{-2}(x-y)(x-z)\geq 0$ (đúng theo schur)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 09-03-2013 - 23:40