Đến nội dung

Hình ảnh

[MSS2013] Trận 6 - Phương trình, hệ phương trình


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 36 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 28/09/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 6 có 20 toán thủ tham gia nên sau trận này, không toán thủ nào bị loại :D

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
Đề MSS trận 6 của BTC: Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{2012}=-1 & \\ x_{1}\left ( x_{2}+x_{3}+...+x_{2012} \right )=-1 & \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{3}+...+x_{2012} \right )=-1 & \\ .......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2011} \right )x_{2012}=-1 & \end{matrix}\right. $$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 28-09-2012 - 20:27
Nhầm $x_{1}$ với thành $x_{2}$.

Thích ngủ.


#3
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Bài làm của daovquang:
Viết lại hệ pt: $$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{2012}=-1\; (1) & \\ x_{1}\left ( x_{2}+x_{3}+...+x_{2012} \right )=-1\; (2) & \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{3}+...+x_{2012} \right )=-1 & \\ .......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2011} \right )x_{2012}=-1 & \end{matrix}\right. $$

Từ $(1)\Rightarrow x_2+...+x_{2012}=-1-x_1$.
Thay vào $(2)$, ta được : $x_1(-1-x_1)=-1$
$\Leftrightarrow x_1^2+x_1-1=0$
$\Leftrightarrow x_1=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Tương tự, $x_{2012}=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Mặt khác, xét $(x_1+...+x_{k-1})(x_k+x_{k+1}+...+x_{2012})=(x_1+...+x_{k-1}+x_k)(x_{k+1}+...+x_{2012})\; (k \in \mathbb{N}^*; 2\le k\le 2011)$
$\Leftrightarrow (x_1+...+x_{k-1})x_k+(x_1+...+x_{k-1})(x_{k+1}+...+x_{2012})=(x_1+...+x_{k-1})(x_{k+1}+...+x_{2012})+x_k(x_{k+1}+...+x_{2012})$
$\Leftrightarrow x_k[(x_1+...+x_{k-1})-(x_{k+1}+...+x_{2012})]=0$
$\Leftrightarrow x_k=0$ hoặc $x_1+...+x_{k-1}=x_{k+1}+...+x_{2012} (*)$.
Đặt $x_1+...+x_{k-1}=a$.
Thay $(*)$ vào $(1)\Rightarrow 2a+x_k=-1 \Leftrightarrow a=\frac{-1-x_k}{2}.$
Khi đó $(x_1+...+x_{k-1})(x_k+x_{k+1}+...+x_{2012})=-1$
$\Leftrightarrow a(x_k+a)=-1$
$\Leftrightarrow \frac{-1-x_k}{2}(x_k+\frac{-1-x_k}{2})=-1$
$\Leftrightarrow 5-x_k^2=0$
$\Leftrightarrow x_k=\pm \sqrt{5}$ với $k=2;3;...;2011$
$\Rightarrow x_k=0$ hoặc $x_k=\pm \sqrt{5}$ với $k=2;3;...;2011$.
Kết luận: phương trình có nghiệm $x_1=x_{2012}=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$; $x_k=0$ hoặc $x_k=\pm \sqrt{5}$ với $k=2;3;...;2011$ thỏa mãn $x_2+x_3+...+x_{2011}=0$ hoặc $\pm \sqrt{5}$.
====
Điểm bài làm: 10.
Tổng điểm: 50+3.10+2.10+0=100

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-10-2012 - 22:10
Ghi lại điểm


#4
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Mở rộng 1:

Giải pt: $$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{2n}=-1\; (1) & \\ x_{1}\left ( x_{2}+x_{3}+...+x_{2n} \right )=-1\; (2) & \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{3}+...+x_{2n} \right )=-1 & \\ .......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2n-1} \right )x_{2n}=-1 & \end{matrix}\right. $$

Từ $(1)\Rightarrow x_2+...+x_{2n}=-1-x_1$.
Thay vào $(2)$, ta được : $x_1(-1-x_1)=-1$
$\Leftrightarrow x_1^2+x_1-1=0$
$\Leftrightarrow x_1=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Tương tự, $x_{2n}=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Mặt khác, xét $(x_1+...+x_{k-1})(x_k+x_{k+1}+...+x_{2n})=(x_1+...+x_{k-1}+x_k)(x_{k+1}+...+x_{2n})\; (k \in \mathbb{N}^*; 2\le k\le 2n-1)$
$\Leftrightarrow (x_1+...+x_{k-1})x_k+(x_1+...+x_{k-1})(x_{k+1}+...+x_{2n})=(x_1+...+x_{k-1})(x_{k+1}+...+x_{2n})+x_k(x_{k+1}+...+x_{2n})$
$\Leftrightarrow x_k[(x_1+...+x_{k-1})-(x_{k+1}+...+x_{2n})]=0$
$\Leftrightarrow x_k=0$ hoặc $x_1+...+x_{k-1}=x_{k+1}+...+x_{2n} (*)$.
Đặt $x_1+...+x_{k-1}=a$.
Thay $(*)$ vào $(1)\Rightarrow 2a+x_k=-1 \Leftrightarrow a=\frac{-1-x_k}{2}.$
Khi đó $(x_1+...+x_{k-1})(x_k+x_{k+1}+...+x_{2n})=-1$
$\Leftrightarrow a(x_k+a)=-1$
$\Leftrightarrow \frac{-1-x_k}{2}(x_k+\frac{-1-x_k}{2})=-1$
$\Leftrightarrow 5-x_k^2=0$
$\Leftrightarrow x_k=\pm \sqrt{5}$ với $k=2;3;...;2n-1$
$\Rightarrow x_k=0$ hoặc $x_k=\pm \sqrt{5}$ với $k=2;3;...;2n-1$.
Kết luận: phương trình có nghiệm $x_1=x_{2n}=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$; $x_k=0$ hoặc $x_k=\pm \sqrt{5}$ với $k=2;3;...;2n-1$ thỏa mãn $x_2+x_3+...+x_{2n-1}=0$ hoặc $\pm \sqrt{5}$.

#5
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
Bài làm của MSS01 - BlackSelena.
Đánh số thứ tự các pt từ đầu tới cuối là 1 - 2012.
Xét pt (1), ta có: $-1 - x_1 =x_2 + .. x_{2012}$
Thay vào pt (2), ta có:
$x_1(-1-x_1) = -1$
$\Leftrightarrow x_1^2 + x_1 -1 = 0$
Phương trình này cho 2 ta nghiệm là $\begin{bmatrix} x_1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ x_1 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$
Tiếp, cũng từ phương trình (1) cho ta $-1 - x_1 - x_2 = x_3 + .. x_{2012}$
Và thay vào pt (3), ta có:
$(x_1 + x_2)(-1-x_1-x_2) = -1$
Đặt $x_1 + x_2 = a$, phương trình trên tương đương
$a^2 + a - 1 =0$
Giải phương trình này cũng cho ta 2 nghiệm $\begin{bmatrix} a = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ a = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$
Kết hợp với kết quả $\begin{bmatrix} x_1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ x_1 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$, ta có
TH1: $x_1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2} ; x_1 + x_2 = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \Rightarrow x_2 = 0$
TH2: $x_1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2} ; x_1 + x_2 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_2 = -\sqrt{5}$
Trường hợp 3,4 cũng giải tương tự, ta có:
$\begin{bmatrix} x_2 = \sqrt{5}\\ x_2 = -\sqrt{5}\\ x_2 = 0 \end{bmatrix}$.
Làm tương tự như vậy, ta cũng có giá trị của $x_3 , x_4 , ... x_{2011}$ giống với $x_2$
Với $x_{2012}$, ta làm tương tự như với $x_1$ và cũng cho kết quả là $\begin{bmatrix} x_{2012} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ x_{2012} = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$
Vậy kết luận, tập nghiệm của phương trình là:
$(x_1 ; x_{2012}) = (\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{-1-\sqrt{5}}{2});( \frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}-1}{2})$
$(x_2 , x_3 ... , x_{2011}) = 0$ hoặc $(x_2, x_3 , ..., x_{2011}) = (\sqrt{5} ,- \sqrt{5})$ sao cho $x_2 = - x_3; x_3 = - x_4 .... x_{2010} = - x_{2011}$.
====
Điểm bài làm: 10.
Tổng điểm: 48 +3.10+2.10+0=98

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-10-2012 - 22:12
Ghi lại điểm


#6
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

Đề MSS trận 6 của BTC: Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{2012}=-1 (*) & \\ x_{1}\left ( x_{2}+x_{3}+...+x_{2012} \right )=-1 (1) & \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{3}+...+x_{2012} \right )=-1 (2)& \\ .......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2011} \right )x_{2012}=-1 (2012)& \end{matrix}\right. $$.


Bài Làm : ( Tru09)
~@ :
Gọi $S_{n} =x_{1} + x_{2} + x_{3} +… + x_{n}$
Vậy từ (*) ta có :$S_{2012} =-1$
-----Từ (1) ta có :$S_{1}.(-1-S_{1}) =-1$
$\Leftrightarrow S_{1}^2 +S_{1} -1 =0$
$\Leftrightarrow (S_{1}+\frac{1}{2})^2 -\frac{5}{4}=0$
$\Leftrightarrow (S_{1} +\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2})( S_{1} +\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{5}}{2})=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}S_{1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ S_{1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{matrix}\right. $

-----Từ $(2)$ ta có :$S_{2}(-1-S_{2}) =-1$
Và cũng tương tự như $(1)$ :
:$S_{2}(-1-S_{2}) =-1$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}S_{2} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ S_{2} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{matrix}\right. $
-----Chứng minh tương tự (vì $(1),(2),..(2012)$ Đều có dạng là $S_{j}(-1-S_{j})$)
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S_{j} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ S_{j} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{matrix}\right. $ $:\text{ $1 \leq j \leq 2012$}$
Mà $S_{2} –S_{1} =x_{2} $
$S_{3} –S_{2} =x_{3}$
Và cứ thế :$S_{m} –S_{m-1} =x_{m} :\text{ $2 \leq m \leq 2011$}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} x_{m} =0 & \\ x_{m}= \sqrt{5} & \\x_{m} =-\sqrt{5} &\end{bmatrix}$
-----Đối với $x_{2012}$ Ta có :
$(2012) \Rightarrow (1-x_{2012}).x_{2012}=-1$
Và cũng như cách giải trên $\Rightarrow (1-x_{2012}).x_{2012}=-1$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{2012} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{2012}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{matrix}\right. $
Mà từ $(*)$ ta có :$x_1 +x_2 +....+x_{2011} +x_{2012} =-1$
Gọi $m'_{0}$ là số số $x_{m}$ có giá trị là $0$
Gọi $m'_{1}$ là số số $x_{m}$ có giá trị là $-\sqrt{5}$
Gọi $m'_{2}$ là số số $x_{m}$ có giá trị là $\sqrt{5}$
-----Trường hợp 1 :$x_1 +x_{2012} =\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
Thì $x_2 +....+x_{2011} =-\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{1}= m'_{2}+1 & \\ m'_{0}+m'_{1}+m'_{2}=2010 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{1}= m'_{2}+1 & \\ m'_{0}+2m'_2=2009 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{1}= m'_{2}+1 & \\ m'_{0}=2009-2m'_2 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow m'_{0}=2009-2m'_2=2011-2m'_1$
-----Trường hợp 2 :$x_1 +x_{2012} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+\frac{-\sqrt{5}-1}{2}=-\sqrt{5}-1$
Thì $x_2 +....+x_{2011} =\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1}+1 & \\ m'_{0}+m'_{1}+m'_{2}=2010 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1}+1 & \\ m'_{0}+2m'_1=2009 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1}+1 & \\ m'_{0}=2009-2m'_1 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow m'_{0}=2009-2m'_1=2011-2m'_2$
-----Trường hợp 3 :$x_1 +x_{2012} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=-1$
Thì $x_2 +....+x_{2011} =0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1} & \\ m'_{0}+m'_{1}+m'_{2}=2010 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1} & \\ m'_{0}+2m'_1=2010 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1} & \\ 2m'_1=2010-m'_0 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow m'_{2}= m'_{1} =\frac{2010-m'_0}{2}$
~@ :Tóm lại :
Kết luận :
$\left\{\begin{matrix} x_{1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{matrix}\right. $
$\left\{\begin{matrix} x_{2012} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{2012}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{matrix}\right. $

$\begin{bmatrix} x_{m} =0 & \\ x_{m}= \sqrt{5} & \\x_{m} =-\sqrt{5} &\end{bmatrix}$
:$\text{ $2 \leq m \leq 2011$}$
---Với $x_1=x_{2012} =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
thì $m'_{0}=2009-2m'_2=2011-2m'_1$
---Với $x_1=x_{2012} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$
Thì $m'_{0}=2009-2m'_1=2011-2m'_2$
---Với ($x_1 $;$x_{2012}$) =($\frac{\sqrt{5}-1}{2};\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$) hoặc ngược lại
Thì $m'_{2}= m'_{1} =\frac{2010-m'_0}{2}$


#7
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

Đề MSS trận 6 của BTC: Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{2012}=-1 (*) & \\ x_{1}\left ( x_{2}+x_{3}+...+x_{2012} \right )=-1 (1) & \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{3}+...+x_{2012} \right )=-1 (2)& \\ .......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2011} \right )x_{2012}=-1 (2012)& \end{matrix}\right. $$.


Bài Làm :(Tru09 :Bài chính thức)
~@ :
Gọi $S_{n} =x_{1} + x_{2} + x_{3} +… + x_{n}$
Vậy từ (*) ta có :$S_{2012} =-1$
-----Từ (1) ta có :$S_{1}.(-1-S_{1}) =-1$
$\Leftrightarrow S_{1}^2 +S_{1} -1 =0$
$\Leftrightarrow (S_{1}+\frac{1}{2})^2 -\frac{5}{4}=0$
$\Leftrightarrow (S_{1} +\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2})( S_{1} +\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{5}}{2})=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}S_{1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ S_{1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_{1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $

-----Từ $(2)$ ta có :$S_{2}(-1-S_{2}) =-1$
Và cũng tương tự như $(1)$ :
:$S_{2}(-1-S_{2}) =-1$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}S_{2} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ S_{2} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $
-----Chứng minh tương tự (vì $(1),(2),..(2012)$ Đều có dạng là $S_{j}(-1-S_{j})$)
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} S_{j} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ S_{j} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix}$ $:\text{ $1 \leq j \leq 2012$}$
Mà $S_{2} –S_{1} =x_{2} $
$S_{3} –S_{2} =x_{3}$
Và cứ thế :$S_{m} –S_{m-1} =x_{m} :\text{ $2 \leq m \leq 2011$}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} x_{m} =0 & \\ x_{m}= \sqrt{5} & \\x_{m} =-\sqrt{5} &\end{bmatrix}$
-----Đối với $x_{2012}$ Ta có :
$(2012) \Rightarrow (1-x_{2012}).x_{2012}=-1$
Và cũng như cách giải trên $\Rightarrow (1-x_{2012}).x_{2012}=-1$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{2012} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{2012}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{matrix}\right. $
Mà từ $(*)$ ta có :$x_1 +x_2 +....+x_{2011} +x_{2012} =-1$
Gọi $m'_{0}$ là số số $x_{m}$ có giá trị là $0$
Gọi $m'_{1}$ là số số $x_{m}$ có giá trị là $-\sqrt{5}$
Gọi $m'_{2}$ là số số $x_{m}$ có giá trị là $+\sqrt{5}$
-----Trường hợp 1 :$x_1 +x_{2012} =\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
Thì $x_2 +....+x_{2011} =-\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{1}= m'_{2}+1 & \\ m'_{0}+m'_{1}+m'_{2}=2010 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{1}= m'_{2}+1 & \\ m'_{0}+2m'_2=2009 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{1}= m'_{2}+1 & \\ m'_{0}=2009-2m'_2 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow m'_{0}=2009-2m'_2=2011-2m'_1$
-----Trường hợp 2 :$x_1 +x_{2012} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+\frac{-\sqrt{5}-1}{2}=-\sqrt{5}-1$
Thì $x_2 +....+x_{2011} =\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1}+1 & \\ m'_{0}+m'_{1}+m'_{2}=2010 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1}+1 & \\ m'_{0}+2m'_1=2009 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1}+1 & \\ m'_{0}=2009-2m'_1 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow m'_{0}=2009-2m'_1=2011-2m'_2$
-----Trường hợp 3 :$x_1 +x_{2012} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=-1$
Thì $x_2 +....+x_{2011} =0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1} & \\ m'_{0}+m'_{1}+m'_{2}=2010 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1} & \\ m'_{0}+2m'_1=2010 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1} & \\ 2m'_1=2010-m'_0 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow m'_{2}= m'_{1} =\frac{2010-m'_0}{2}$
~@ :Tóm lại :
Kết luận :
$\begin{bmatrix} x_{1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $
$\begin{bmatrix} x_{2012} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{2012}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x_{m} =0 & \\ x_{m}= \sqrt{5} & \\x_{m} =-\sqrt{5} &\end{bmatrix}$:$\text{ $2 \leq m \leq 2011$}$
---Với $x_1=x_{2012} =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
thì $m'_{0}=2009-2m'_2=2011-2m'_1$
---Với $x_1=x_{2012} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$
Thì $m'_{0}=2009-2m'_1=2011-2m'_2$
---Với ($x_1 $;$x_{2012}$) =($\frac{\sqrt{5}-1}{2};\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$) hoặc ngược lại
Thì $m'_{2}= m'_{1} =\frac{2010-m'_0}{2}$

#8
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
Mở Rộng 1
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{2k}=-1 (*) & \\ x_{1}\left ( x_{2}+x_{3}+...+x_{2k} \right )=-1 (1) & \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{3}+...+x_{2k} \right )=-1 (2)& \\ .......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2k-1} \right )x_{2k}=-1 (2012)& \end{matrix}\right. $$.


Bài Làm :
~@ :
Gọi $S_{n} =x_{1} + x_{2} + x_{3} +… + x_{n}$
Vậy từ (*) ta có :$S_{2k} =-1$
-----Từ (1) ta có :$S_{1}.(-1-S_{1}) =-1$
$\Leftrightarrow S_{1}^2 +S_{1} -1 =0$
$\Leftrightarrow (S_{1}+\frac{1}{2})^2 -\frac{5}{4}=0$
$\Leftrightarrow (S_{1} +\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2})( S_{1} +\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{5}}{2})=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}S_{1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ S_{1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_{1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $

-----Từ $(2)$ ta có :$S_{2}(-1-S_{2}) =-1$
Và cũng tương tự như $(1)$ :
:$S_{2}(-1-S_{2}) =-1$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}S_{2} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ S_{2} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $
-----Chứng minh tương tự (vì $(1),(2),..(2k)$ Đều có dạng là $S_{j}(-1-S_{j})$)
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} S_{j} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ S_{j} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $ $:\text{ $1 \leq j \leq 2k$}$
Mà $S_{2} –S_{1} =x_{2} $
$S_{3} –S_{2} =x_{3}$
Và cứ thế :$S_{m} –S_{m-1} =x_{m} :\text{ $2 \leq m \leq 2k-1$}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} x_{m} =0 & \\ x_{m}= \sqrt{5} & \\x_{m} =-\sqrt{5} &\end{bmatrix}$
-----Đối với $x_{2k}$ Ta có :
$(2012) \Rightarrow (1-x_{2k}).x_{2k}=-1$
Và cũng như cách giải trên $\Rightarrow (1-x_{2k}).x_{2k}=-1$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_{2k} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{2k}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $
Mà từ $(*)$ ta có :$x_1 +x_2 +....+x_{2k-1} +x_{2k} =-1$
Gọi $m'_{0}$ là số số $x_{m}$ có giá trị là $0$
Gọi $m'_{1}$ là số số $x_{m}$ có giá trị là $-\sqrt{5}$
Gọi $m'_{2}$ là số số $x_{m}$ có giá trị là $\sqrt{5}$
-----Trường hợp 1 :$x_1 +x_{2k} =\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
Thì $x_2 +....+x_{2k-1} =-\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{1}= m'_{2}+1 & \\ m'_{0}+m'_{1}+m'_{2}=2k-2 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{1}= m'_{2}+1 & \\ m'_{0}+2m'_2=2k-3 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{1}= m'_{2}+1 & \\ m'_{0}=2k-3-2m'_2 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow m'_{0}=2k-3-2m'_2=2k-1-2m'_1$
-----Trường hợp 2 :$x_1 +x_{2k} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+\frac{-\sqrt{5}-1}{2}=-\sqrt{5}-1$
Thì $x_2 +....+x_{2k-1} =\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1}+1 & \\ m'_{0}+m'_{1}+m'_{2}=2k-2 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1}+1 & \\ m'_{0}+2m'_1=2k-3 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1}+1 & \\ m'_{0}=2k-3-2m'_1 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow m'_{0}=2k-3-2m'_1=2k-1-2m'_2$
-----Trường hợp 3 :$x_1 +x_{2k} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=-1$
Thì $x_2 +....+x_{2k-1} =0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1} & \\ m'_{0}+m'_{1}+m'_{2}=2k-2 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1} & \\ m'_{0}+2m'_1=2k-2 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1} & \\ 2m'_1=2k-2-m'_0 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow m'_{2}= m'_{1} =\frac{2k-2-m'_0}{2}$
~@ :Tóm lại :
Kết luận :
$\begin{bmatrix} x_{1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $
$\begin{bmatrix} x_{2k} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{2k}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $

$\begin{bmatrix} x_{m} =0 & \\ x_{m}= \sqrt{5} & \\x_{m} =-\sqrt{5} &\end{bmatrix}$:$\text{ $2 \leq m \leq 2k-1$}$
---Với $x_1=x_{2k} =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
thì $m'_{0}=2k-3-2m'_2=2k-1-2m'_1$
---Với $x_1=x_{2012} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$
Thì $m'_{0}=2k-3-2m'_1=2k-1-2m'_2$
---Với ($x_1 $;$x_{2012}$) =($\frac{\sqrt{5}-1}{2};\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$) hoặc ngược lại
Thì $m'_{2}= m'_{1} =\frac{2k-2-m'_0}{2}$
====
Bạn gửi lên 3 mở rộng khác nhau nhưng mình chỉ thấy có một mở rộng là đúng vì hai mở rộng 2 và 3 nếu ta sử dụng hệ thức Viete liên tiếp thì sẽ dẫn đến các phương trình bậc hai, từ đó ta biện luận theo ẩn $t$ và phương trình vô nghiệm hay có nghiệm đều phải biện luận. Và theo mình nghĩ thì cách giải sử dụng hệ thức Viete là cách giải hay nhất cho bài toán này, bài toán này có một dạng đã được thi ở đâu đó mình không nhớ rõ và cách giải sử dụng hệ thức Viete của lớp 9 để giải.
====
Điểm bài làm: 10.
Tổng điểm: 37+3.10+10+0=77.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-10-2012 - 22:14
Ghi lại điểm


#9
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
Mở Rộng 1
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{2k+1}=-1 (*) & \\ x_{1}\left ( x_{2}+x_{3}+...+x_{2k+1} \right )=-1 (1) & \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{3}+...+x_{2k+1} \right )=-1 (2)& \\ .......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2k} \right )x_{2k+1}=-1 (2012)& \end{matrix}\right. $$.


Bài Làm :
~@ :
Gọi $S_{n} =x_{1} + x_{2} + x_{3} +… + x_{n}$
Vậy từ (*) ta có :$S_{2k+1} =-1$
-----Từ (1) ta có :$S_{1}.(-1-S_{1}) =-1$
$\Leftrightarrow S_{1}^2 +S_{1} -1 =0$
$\Leftrightarrow (S_{1}+\frac{1}{2})^2 -\frac{5}{4}=0$
$\Leftrightarrow (S_{1} +\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2})( S_{1} +\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{5}}{2})=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}S_{1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ S_{1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_{1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $

-----Từ $(2)$ ta có :$S_{2}(-1-S_{2}) =-1$
Và cũng tương tự như $(1)$ :
:$S_{2}(-1-S_{2}) =-1$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}S_{2} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ S_{2} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $
-----Chứng minh tương tự (vì $(1),(2),..(2k+1)$ Đều có dạng là $S_{j}(-1-S_{j})$)
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} S_{j} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ S_{j} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $ $:\text{ $1 \leq j \leq 2k+1$}$
Mà $S_{2} –S_{1} =x_{2} $
$S_{3} –S_{2} =x_{3}$
Và cứ thế :$S_{m} –S_{m-1} =x_{m} :\text{ $2 \leq m \leq 2k$}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} x_{m} =0 & \\ x_{m}= \sqrt{5} & \\x_{m} =-\sqrt{5} &\end{bmatrix}$
-----Đối với $x_{2k+1}$ Ta có :
$(2012) \Rightarrow (1-x_{2k+1}).x_{2k+1}=-1$
Và cũng như cách giải trên $\Rightarrow (1-x_{2k+1}).x_{2k+1}=-1$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_{2k+1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{2k+1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $
Mà từ $(*)$ ta có :$x_1 +x_2 +....+x_{2k} +x_{2k+1} =-1$
Gọi $m'_{0}$ là số số $x_{m}$ có giá trị là $0$
Gọi $m'_{1}$ là số số $x_{m}$ có giá trị là $-\sqrt{5}$
Gọi $m'_{2}$ là số số $x_{m}$ có giá trị là $\sqrt{5}$
-----Trường hợp 1 :$x_1 +x_{2k+1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
Thì $x_2 +....+x_{2k-1} =-\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{1}= m'_{2}+1 & \\ m'_{0}+m'_{1}+m'_{2}=2k-1 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{1}= m'_{2}+1 & \\ m'_{0}+2m'_2=2k-2 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{1}= m'_{2}+1 & \\ m'_{0}=2k-2-2m'_2 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow m'_{0}=2k-2-2m'_2=2k-2m'_1$
-----Trường hợp 2 :$x_1 +x_{2k+1} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+\frac{-\sqrt{5}-1}{2}=-\sqrt{5}-1$
Thì $x_2 +....+x_{2k-1} =\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1}+1 & \\ m'_{0}+m'_{1}+m'_{2}=2k-1 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1}+1 & \\ m'_{0}+2m'_1=2k-2 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1}+1 & \\ m'_{0}=2k-2-2m'_1 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow m'_{0}=2k-2-2m'_1=2k-2m'_2$
-----Trường hợp 3 :$x_1 +x_{2k+1} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=-1$
Thì $x_2 +....+x_{2k-1} =0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1} & \\ m'_{0}+m'_{1}+m'_{2}=2k-1 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1} & \\ m'_{0}+2m'_1=2k-1 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m'_{2}= m'_{1} & \\ 2m'_1=2k-1-m'_0 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow m'_{2}= m'_{1} =\frac{2k-1-m'_0}{2}$
~@ :Tóm lại :
Kết luận :
$\begin{bmatrix} x_{1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $
$\begin{bmatrix} x_{2k+1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ x_{2k}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix} $

$\begin{bmatrix} x_{m} =0 & \\ x_{m}= \sqrt{5} & \\x_{m} =-\sqrt{5} &\end{bmatrix}$:$\text{ $2 \leq m \leq 2k$}$
---Với $x_1=x_{2k+1} =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
thì $m'_{0}=2k-2-2m'_1=2k-2m'_2$
---Với $x_1=x_{2k+1} =\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$
Thì $m'_{0}=2k-2-2m'_1=2k-2m'_2$
---Với ($x_1 $;$x_{2k+1}$) =($\frac{\sqrt{5}-1}{2};\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$) hoặc ngược lại
Thì $m'_{2}= m'_{1} =\frac{2k-1-m'_0}{2}$

#10
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
Mở Rộng 3: Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{2012}=t (*) & \\ x_{1}\left ( x_{2}+x_{3}+...+x_{2012} \right )=t (1) & \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{3}+...+x_{2012} \right )=t (2)& \\ .......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2011} \right )x_{2012}=t (2012)& \end{matrix}\right. $$.Với $t >\frac{1}{4}$


Bài Làm :
~@ :
Gọi $S_{n} =x_{1} + x_{2} + x_{3} +… + x_{n}$
-----Từ (1) ta có :$S_{1}.(-1-S_{1}) =t$
$\Leftrightarrow S_{1}^2 +S_{1} +t =0$
$\Leftrightarrow (S_{1}+\frac{1}{2})^2 -\frac{1}{4}+t=0$
Vì $t >\frac{1}{4}$ nên Vô nghiệm

-----Từ $(2)$ ta có :$S_{2}(-1-S_{2}) =t$
Và cũng tương tự như $(1)$ :
:$S_{2}(-1-S_{2}) =t$
$\Rightarrow$ vô nghiệm
-----Chứng minh tương tự (vì $(1),(2),..(2012)$ Đều có dạng là $S_{j}(-1-S_{j})$)
$\Rightarrow$ Vô nghiệm
Nên hệ phương trình vô nghiệm
Tóm lại :Hệ phương trình vô nghiệm với $t >\frac{1}{4}$

#11
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
Mở Rộng 3: Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=t (*) & \\ x_{1}\left ( x_{2}+x_{3}+...+x_{k} \right )=t (1) & \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{3}+...+x_{k} \right )=t (2)& \\ .......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{k-1} \right )x_{k}=t (k)& \end{matrix}\right. $$.Với $t >\frac{1}{4}$


Bài Làm :
~@ :
Gọi $S_{n} =x_{1} + x_{2} + x_{3} +… + x_{n}$
-----Từ (1) ta có :$S_{1}.(-1-S_{1}) =t$
$\Leftrightarrow S_{1}^2 +S_{1} +t =0$
$\Leftrightarrow (S_{1}+\frac{1}{2})^2 -\frac{1}{4}+t=0$
Vì $t >\frac{1}{4}$ nên Vô nghiệm

-----Từ $(2)$ ta có :$S_{2}(-1-S_{2}) =t$
Và cũng tương tự như $(1)$ :
:$S_{2}(-1-S_{2}) =t$
$\Rightarrow$ vô nghiệm
-----Chứng minh tương tự (vì $(1),(2),..(k)$ Đều có dạng là $S_{j}(-1-S_{j})$)
$\Rightarrow$ Vô nghiệm
Nên hệ phương trình vô nghiệm
Tóm lại :Hệ phương trình vô nghiệm

#12
ConanTM

ConanTM

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
Lời giải của toán thủ ConanTM:
Hệ PT đã cho tương đương với:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{2012}=-1(*_1) & \\ x_{1}\left ( 1 + x_{1}

\right )=1 (*_2)& \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( 1+x_{1}+x_{2} \right )=1(*_3) & \\

.......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2011} \right )\left ( 1+x_{1}+x_{2}

+x_{3}+...+x_{2011} \right )=1 (*_{2012})& \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + ... + {x_{2012}} = - 1 \\
\left[ \begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \\
{x_1} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} \\
\end{array} \right. \\
\left[ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \\
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} \\
\end{array} \right. \\
... \\
\left[ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + ... + {x_{2011}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \\
{x_1} + {x_2} + ... + {x_{2011}} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} \\
\end{array} \right.(**) \\
\end{array} \right.$

Từ $(*_1)$ và (**) ta suy ra: $\left[ \begin{array}{l}
{x_{2012}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \\
{x_{2012}} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} \\
\end{array} \right.$
Do đó:
$\left[ \begin{array}{l}
{x_2},{x_3},...,{x_{2011}} \in \left\{ {0; - \sqrt 5 } \right\} \\
{x_2},{x_3},...,{x_{2011}} \in \left\{ {0;\sqrt 5 } \right\} \\
\end{array} \right.$
và: $\left[ \begin{array}{l}
{x_2} + {x_3} + ... + {x_{2011}} \in \left\{ {0; - \sqrt 5 } \right\} \\
{x_2} + {x_3} + ... + {x_{2011}} \in \left\{ {0;\sqrt 5 } \right\} \\
\end{array} \right.$
Do vậy ta xét các trường hợp sau:
- Trường hợp 1: ${x_1} \ne {x_{2012}}$ hay ${x_1} + {x_{2012}}=-1$
=> ${x_2} + {x_3} + ... + {x_{2011}}=0$
Trong trường hợp này hệ PT có 2 nghiệm là:
$({x_1},{x_2},...,{x_{2012}}) \in \left\{ {(\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2});(\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2})} \right\}$

- Trường hợp 2: ${x_1} = {x_{2012}}=\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$
=> ${x_2} + {x_3} + ... + {x_{2011}}=-\sqrt 5$
Trong trường hợp này hệ PT có 2010 nghiệm là:
${({x_1},{x_2},...,{x_{2012}}) = (\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,{x_k},0,...,0,0,\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2})}$ với ${x_k} = - \sqrt 5 ;k \in \left\{ {2,3,4,...,2011} \right\}$

- Trường hợp 3: ${x_1} = {x_{2012}}=\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}$
=> ${x_2} + {x_3} + ... + {x_{2011}}=\sqrt 5$
Trong trường hợp này hệ PT có 2010 nghiệm là:
${({x_1},{x_2},...,{x_{2012}}) = (\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,

{x_m},0,...,0,0,\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2})}$ với ${x_m} = \sqrt 5 ;m \in \left\{

{2,3,4,...,2011} \right\}$
Kết luận: Hệ PT đã cho có 4022 nghiệm $({x_1},{x_2},...,{x_{2012}})$ là:
$(\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2});(\frac{{ - 1 - \sqrt 5

}}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2})$;
$(\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,{x_k},0,...,0,0,\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2})$ với

${x_k} = - \sqrt 5 ;k \in \left\{ {2,3,4,...,2011} \right\}$
và $(\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,{x_m},0,...,0,0,\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2})$

với ${x_m} = \sqrt 5 ;m \in \left\{ {2,3,4,...,2011} \right\}$
Thử lại thấy đúng.
====
Bạn gửi lên rất nhiều mở rộng nhưng đa số là thay đổi điều kiện của $m$ và $n$ lại mà thôi nên mình chấp nhận 1 mở rộng nhưng có một thắc mắc của bạn gửi lên khá là hay nên mình xem như là một mở rộng :).
====
Điểm bài làm: 10.
Tổng điểm: 35+3.10+2.10+0=85

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-10-2012 - 22:15
Ghi lại điểm


#13
ConanTM

ConanTM

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
Mở rộng 1 của toán thủ ConanTM:
Khi mở rộng số lượng biến trong hệ PT lên 2n với n là số tự nhiên lớn hơn 3 thì bằng cách giải tương tự như trên ta có kết quả là:
Hệ PT:
$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{2n}=-1 & \\ x_{1}\left ( x_{2}+x_{3}+...+x_{2n} \right )=-1 & \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{3}+...+x_{2n} \right )=-1 & \\ .......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2n-1} \right )x_{2n}=-1 & \end{matrix}\right. $
có các nghiệm nghiệm $({x_1},{x_2},...,{x_{2n}})$ là:
$(\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2});(\frac{{ - 1 - \sqrt 5
}}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2})$;
$(\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,{x_k},0,...,0,0,\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2})$ với ${x_k} = - \sqrt 5 ;k \in \left\{ {2,3,4,...,2n-1} \right\}$
và $(\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,{x_m},0,...,0,0,\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2})$ với ${x_m} = \sqrt 5 ;m \in \left\{ {2,3,4,...,2n-1} \right\}$

#14
ConanTM

ConanTM

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
Mở rộng 2 của toán thủ ConanTM:
Khi mở rộng số lượng biến trong hệ PT lên m với m là số tự nhiên lớn hơn 2 thì bằng cách giải tương tự như trên ta có kết quả là:
Hệ PT:
$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{m}=-1 & \\ x_{1}\left ( x_{2}+x_{3}+...+x_{m} \right )=-1 & \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{3}+...+x_{m} \right )=-1 & \\ .......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{m-1} \right )x_{m}=-1 & \end{matrix}\right. $
có các nghiệm nghiệm $({x_1},{x_2},...,{x_{m}})$ là:
$(\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2});(\frac{{ - 1 - \sqrt 5}}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2})$;
$(\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,{x_k},0,...,0,0,\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2})$ với ${x_k} = - \sqrt 5 ;k \in \left\{ {2,3,4,...,m-1} \right\}$
và $(\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,{x_m},0,...,0,0,\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2})$ với ${x_m} = \sqrt 5 ;m \in \left\{ {2,3,4,...,m-1} \right\}$

#15
ConanTM

ConanTM

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
Mở rộng 3 của toán thủ ConanTM:
Khi mở rộng hằng số -1 từ PT thứ hai trở đi trong hệ PT thành -a với a > 0 thì bằng cách giải tương tự như trên ta có kết quả là:
Hệ PT:
$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{2012}=-1 & \\ x_{1}\left ( x_{2}+x_{3}+...+x_{2012} \right )=-a & \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{3}+...+x_{2012} \right )=-a & \\ .......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2011} \right )x_{2012}=-a & \end{matrix}\right. $
có các nghiệm nghiệm $({x_1},{x_2},...,{x_{2012}})$ là:
$(\frac{{ - 1 + \sqrt {1+4a} }}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 - \sqrt {1+4a} }}{2});(\frac{{ - 1 - \sqrt {1+4a} }}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 + \sqrt {1+4a} }}{2})$;
$(\frac{{ - 1 + \sqrt {1+4a} }}{2},0,0,...,0,{x_k},0,...,0,0,\frac{{ - 1 + \sqrt {1+4a} }}{2})$ với ${x_k} = - \sqrt {1+4a} ;k \in \left\{ {2,3,4,...,2011} \right\}$ và $(\frac{{ - 1 - \sqrt {1+4a} }}{2},0,0,...,0,{x_m},0,...,0,0,\frac{{ - 1 - \sqrt {1+4a} }}{2})$ với ${x_m} = \sqrt {1+4a} ;m \in \left\{ {2,3,4,...,2011} \right\}$

#16
ConanTM

ConanTM

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
Mở rộng 4 của toán thủ ConanTM:
Kết hợp mở rộng số lượng biến lên 2n (với n > 4) với mở rộng mở rộng hằng số -1 từ PT thứ hai trở đi trong hệ PT thành -a với a > 0 thì bằng cách giải tương tự như trên ta có kết quả là:
Hệ PT:
$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{2n}=-1 & \\ x_{1}\left ( x_{2}+x_{3}+...+x_{2n} \right )=-a & \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{3}

+...+x_{2n} \right )=-a & \\ .......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2n-1} \right )x_{2n}=-a & \end{matrix}\right. $
có các nghiệm nghiệm $({x_1},{x_2},...,{x_{2n}})$ là:
$(\frac{{ - 1 + \sqrt {1+4a} }}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 - \sqrt {1+4a} }}{2});(\frac{{ - 1 - \sqrt {1+4a} }}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 + \sqrt {1+4a} }}{2})$;
$(\frac{{ - 1 + \sqrt {1+4a} }}{2},0,0,...,0,{x_k},0,...,0,0,\frac{{ - 1 + \sqrt {1+4a} }}{2})$ với ${x_k} = - \sqrt {1+4a} ;k \in \left\{ {2,3,4,...,2n-1} \right\}$
và $(\frac{{ - 1 - \sqrt {1+4a} }}{2},0,0,...,0,{x_m},0,...,0,0,\frac{{ - 1 - \sqrt {1+4a} }}{2})$ với ${x_m} = \sqrt {1+4a} ;m \in \left\{ {2,3,4,...,2n-1}

\right\}$

#17
ConanTM

ConanTM

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
Mở rộng 5 của toán thủ ConanTM:
Kết hợp mở rộng số lượng biến lên h (với h > 3) với mở rộng mở rộng hằng số -1 từ PT thứ hai trở đi trong hệ PT thành -a với a > 0 thì bằng cách giải tương tự như trên ta có kết quả là:
Hệ PT:
$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{h}=-1 & \\ x_{1}\left ( x_{2}+x_{3}+...+x_{h} \right )=-a & \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{3}

+...+x_{h} \right )=-a & \\ .......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{h-1} \right )x_{h}=-a & \end{matrix}\right. $
có các nghiệm nghiệm $({x_1},{x_2},...,{x_{h}})$ là:
$(\frac{{ - 1 + \sqrt {1+4a} }}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 - \sqrt {1+4a} }}{2});(\frac{{ - 1 - \sqrt {1+4a} }}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 + \sqrt {1+4a} }}{2})$;
$(\frac{{ - 1 + \sqrt {1+4a} }}{2},0,0,...,0,{x_k},0,...,0,0,\frac{{ - 1 + \sqrt {1+4a} }}{2})$ với ${x_k} = - \sqrt {1+4a} ;k \in \left\{ {2,3,4,...,h-1} \right\}$
và $(\frac{{ - 1 - \sqrt {1+4a} }}{2},0,0,...,0,{x_m},0,...,0,0,\frac{{ - 1 - \sqrt {1+4a} }}{2})$ với ${x_m} = \sqrt {1+4a} ;m \in \left\{ {2,3,4,...,h-1}

\right\}$

#18
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Mở rộng 2:
Giải phương trình với $n\in \mathbb{N}^*; n\geq 2$: $$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=-1\; (1) & \\ x_{1}\left ( x_{2}+x_{3}+...+x_{n} \right )=-1\; (2) & \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{3}+...+x_{n} \right )=-1 & \\ .......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n-1} \right )x_{n}=-1 & \end{matrix}\right. $$

Từ $(1)\Rightarrow x_2+...+x_{n}=-1-x_1$.
Thay vào $(2)$, ta được : $x_1(-1-x_1)=-1$
$\Leftrightarrow x_1^2+x_1-1=0$
$\Leftrightarrow x_1=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Tương tự, $x_{n}=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Mặt khác, xét $(x_1+...+x_{k-1})(x_k+x_{k+1}+...+x_{n})=(x_1+...+x_{k-1}+x_k)(x_{k+1}+...+x_{n})\; (k \in \mathbb{N}^*; 2\le k\le n-1)$
$\Leftrightarrow (x_1+...+x_{k-1})x_k+(x_1+...+x_{k-1})(x_{k+1}+...+x_{n})=(x_1+...+x_{k-1})(x_{k+1}+...+x_{n})+x_k(x_{k+1}+...+x_{n})$
$\Leftrightarrow x_k[(x_1+...+x_{k-1})-(x_{k+1}+...+x_{n})]=0$
$\Leftrightarrow x_k=0$ hoặc $x_1+...+x_{k-1}=x_{k+1}+...+x_{n} (*)$.
Đặt $x_1+...+x_{k-1}=a$.
Thay $(*)$ vào $(1)\Rightarrow 2a+x_k=-1 \Leftrightarrow a=\frac{-1-x_k}{2}.$
Khi đó $(x_1+...+x_{k-1})(x_k+x_{k+1}+...+x_{n})=-1$
$\Leftrightarrow a(x_k+a)=-1$
$\Leftrightarrow \frac{-1-x_k}{2}(x_k+\frac{-1-x_k}{2})=-1$
$\Leftrightarrow 5-x_k^2=0$
$\Leftrightarrow x_k=\pm \sqrt{5}$ với $k=2;3;...;n-1$
$\Rightarrow x_k=0$ hoặc $x_k=\pm \sqrt{5}$ với $k=2;3;...;n-1$.
Kết luận: phương trình có nghiệm $x_1=x_{n}=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$; $x_k=0$ hoặc $x_k=\pm \sqrt{5}$ với $k=2;3;...;n-1$ thỏa mãn $x_2+x_3+...+x_{n-1}=0$ hoặc $\pm \sqrt{5}$.

#19
ConanTM

ConanTM

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
Em đã có những suy nghĩ nhiều xung quanh bài toán này nhưng với hiểu biết còn rất hạn hẹp của em thì em thấy rằng em còn kém lắm ạ. Một số vấn đề rất tự nhiên em nghĩ đến nhưng thật sự là em không biết phải làm thế nào, mong các anh chị giải đáp dùm em với. Đó là:
Vấn đề 1: Giả sử rằng ta có dãy số $a_n$ có tính chất sau:
$\left\{ \begin{array}{l}
\sum\limits_{n = 1}^h {{a_n}} = - 1 \\
\left( {\sum\limits_{k = 1}^t {{a_k}} } \right)\left( {\sum\limits_{v = t + 1}^h {{a_v}} } \right) = - 1 \\
\end{array} \right.$
Liệu rằng ta có thể xác định được công thức tổng quát của dãy số $a_n$ hay không? Trong lời giải của em mặc dù em thấy rằng đã xuất hiện một chút manh mối về cái dãy $a_n$ nhưng vấn đề về dấu của các số hạng $a_k$ với k lần lượt chạy từ 2 cho đến h - 1 em thấy thật khó xác định, ngay cả trong trường hợp bằng 0 hay là không?
Vấn đề 2: Nếu em giả sử có đa thức f(x) có tính chất:
$\left\{ \begin{array}{l}
f(x) + f(y) = - 1 \\
f(x)f(y) = - 1 \\
\end{array} \right.$
Thì liệu rằng ta có thể xác định được đa thức f(x) hay không? Nếu thêm điều kiện gì thì vấn đề sẽ dễ giải quết hơn?
Em có đôi lời xin được bày tỏ ạ?

#20
ConanTM

ConanTM

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
Em xin được sửa và bổ sung thêm như sau vì có 1 số chỗ thiếu sót:
Em xin thay đoạn:
$\left[ \begin{array}{l}
{x_2},{x_3},...,{x_{2011}} \in \left\{ {0; - \sqrt 5 } \right\} \\
{x_2},{x_3},...,{x_{2011}} \in \left\{ {0;\sqrt 5 } \right\} \\
\end{array} \right.$
và: $\left[ \begin{array}{l}
{x_2} + {x_3} + ... + {x_{2011}} \in \left\{ {0; - \sqrt 5 } \right\} \\
{x_2} + {x_3} + ... + {x_{2011}} \in \left\{ {0;\sqrt 5 } \right\} \\
\end{array} \right.$
bởi: ${x_2},{x_3},...,{x_{2011}} \in \left\{ {0; - \sqrt 5 ,\sqrt 5} \right\}.$
và: ${x_2}+{x_3}+...+{x_{2011}} \in \left\{ {0; - \sqrt 5 ,\sqrt 5} \right\}.$
Do đó em xin bổ sung thêm nhiều nghiệm nữa:
- Bộ nghiệm bổ sung thứ nhất (trong TH1):
$({x_1},{x_2},...,{x_{2012}}) \in \left\{ {(\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0,...,-\sqrt 5,0,...,\sqrt 5,...,-\sqrt 5,0,..,\sqrt 5,\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2});(\frac{{ - 1 - \sqrt5 }}{2},0,..,\sqrt 5,0,...,-\sqrt 5,...,0,..,\sqrt 5,0,...,-\sqrt 5,\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2})} \right\}$ với chú ý là các số 0 có thể có hoặc không, số lượng các số 0 phải là số chẵn.
- Bộ nghiệm bổ sung thứ hai (trong TH 2, 3):
$({x_1},{x_2},...,{x_{2012}}) \in \left\{ {(\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0,...,-\sqrt 5,0,...,\sqrt 5,...,-\sqrt 5,0,..,\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2});(\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0,..,\sqrt 5,0,...,-\sqrt 5,...,0,..,\sqrt 5,0,...,\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2})} \right\}$ với chú ý là các số 0 phải có thể, số lượng các số 0 phải là số lẻ.
=> HPT có thêm 2 bộ nghiệm nữa ở trên và các mở rộng với số ẩn là số chẵn (2n) thì đều được bổ sung thêm 2 bộ nghiệm được hiểu tương tự như ở trên. Còn trong mở rộng với số ẩn bất kì thì trong TH chẵn ẩn cũng được bổ sung thêm tương tự (như vậy là phải chia thành 2 khả năng có thể xảy ra là số ẩn chẵn và số ẩn lẻ).
Trên đây là 1 số bổ sung thêm vì chưa hết thời hạn gửi bài nên em nghĩ là được ạ.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh