Chứng minh $A+B^{2012}$ khả nghịch.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 02-02-2013 - 13:33
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 02-02-2013 - 13:33
Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên
Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!! Mưa ơi đừng rơi nữa .......... .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 11-01-2013 - 21:33
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 11-01-2013 - 21:11
Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên
Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!! Mưa ơi đừng rơi nữa .......... .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 11-01-2013 - 22:20
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 12-01-2013 - 00:41
Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên
Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!! Mưa ơi đừng rơi nữa .......... .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............
Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên
Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!! Mưa ơi đừng rơi nữa .......... .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 17-01-2013 - 21:40
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GreatLuke: 02-02-2013 - 13:17
Mình không hiểu dòng số 5 lắm.bạn giải thích kĩ hơn được không.@@.Một ý tưởng tuyệt vời. .
P/s:Từ đây liệu ta có thể đưa ra nhận xét gì về ma trận mà giao hoán với ma trận lũy linh.:-/
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 28-02-2013 - 11:51
Em gan ghê! Dám viết như vậy hả? Cơ sở nào để em viết như vậy?
ta sẽ chứng minh nếu B lũy linh thì det(A+B)=detA . Ở đây cho A khả nghịch lại càng dễ:
det(A+B)=det(A).det(I+A^{-1}B)
Đặt C=A^{-1}B thì hiển nhiên C là ma trận lũy linh, tiếp theo ta sẽ chứng minh det(I+C)=1
có C^r=0, xét p(x)=(x-1)^r => p(I+C)=0 suy ra đa thức tối tiểu của I+C là ước của p(x) suy ra trị riêng của I+C chỉ là 1 nên det(I+C)=1 =>đpcm
Con số $2012$ theo mình không có ý nghĩa lắm ở bài này. Thật như vậy, với nhận xét rằng $A^{r} = 0$ thì $A^{t} = 0$ với mọi $t \ge r$; và cũng để thuận tiện ta nói $r$ được đề cập là giá trị nhỏ nhất để $B^{r} = 0$, ta có:
'Cho $A, C$ là các ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn $AC = CA$; $A$ khả nghịch và tồn tại $c$ là số tự nhiên nhỏ nhất để $C^{c} = 0$. Chứng minh rằng $A + C$ cũng khả nghịch.'
Giả sử phản chứng $A + C$ là ma trận không khả nghịch, tức $r(A + C) < n$. Xét phương trình $(A + C)X = 0$ với $X$ là một ma trận $n\times 1$.
Từ định lý Rouché - Capelli, ta thấy:
Mặt khác, phương trình trên tương đương $AX = -CX (*) \implies C^{c - 1}.A.X = -C^{c}X = 0$ (lưu ý $C^{c - 1} \neq 0$). Do $A, C$ giao hoán nhau nên $A$ và $C^{c - 1}$ cũng thế, nghĩa là $C^{c - 1}A = AC^{c - 1}$. Kết hợp các điều trên lại cho ta $AC^{c - 1}X = 0 \implies A^{-1}.A.C^{c - 1} = A^{-1}.0 = 0 \implies C^{c - 1}X = 0 (**)$
Từ (*) và (**), ta có như sau: $C^{c - 2}.AX = -C^{c - 1}X = 0$, tương tự quá trình trên, ta thu gọn được $C^{c - 2}X = 0$.
Cứ tiếp tục như vậy cho đến cuối cùng, ta thu được $CX = 0$. Từ (*) thì điều này đồng nghĩa với $AX = 0$. Nghĩa là với mỗi giá trị $X$ là nghiệm của $(A + C)Y = 0$ thì $X$ cũng là nghiệm của phương trình $AT = 0$. (3)
Kết hợp (1), (2) và (3) ta thu được mâu thuẫn. Vậy $A + C$ là một ma trận khả nghịch.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 28-09-2017 - 17:54
Con số $2012$ theo mình không có ý nghĩa lắm ở bài này. Thật như vậy, với nhận xét rằng $A^{r} = 0$ thì $A^{t} = 0$ với mọi $t \ge r$; và cũng để thuận tiện ta nói $r$ được đề cập là giá trị nhỏ nhất để $B^{r} = 0$, ta có:
- Nếu $r\le 2012$ thì $A + B^{2012} = A$ là ma trận khả nghịch theo giả thiết.
- Nếu $r > 2012$, ta đặt $C = B^{2012}$, lúc này, theo nguyên lý Archimedes tồn tại một số tự nhiên (nhỏ nhất) $c$ ($c \ge 2$) sao cho $2012c \ge r$, nghĩa là $c$ là số tự nhiên nhỏ nhất để $C^{c} = 0$. Lúc này, ta nhận xét rẳng (có thể chứng minh được) $A$ và $C$ cũng giao hoán nhau; $A$ khả nghịch và $C$ lũy linh. Tức là ta có thể phát biểu lại bài toán như sau:
'Cho $A, C$ là các ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn $AC = CA$; $A$ khả nghịch và tồn tại $c$ là số tự nhiên nhỏ nhất để $C^{c} = 0$. Chứng minh rằng $A + C$ cũng khả nghịch.'
Giả sử phản chứng $A + C$ là ma trận không khả nghịch, tức $r(A + C) < n$. Xét phương trình $(A + C)X = 0$ với $X$ là một ma trận $n\times 1$.
Từ định lý Rouché - Capelli, ta thấy:
- Phương trình trên có vô số nghiệm $X$ (1)
- Phương trình $AX = 0$ có $r(A) = r(A|0) = n$ nên sẽ có nghiệm duy nhất (2)
Mặt khác, phương trình trên tương đương $AX = -CX (*) \implies C^{c - 1}.A.X = -C^{c}X = 0$ (lưu ý $C^{c - 1} \neq 0$). Do $A, C$ giao hoán nhau nên $A$ và $C^{c - 1}$ cũng thế, nghĩa là $C^{c - 1}A = AC^{c - 1}$. Kết hợp các điều trên lại cho ta $AC^{c - 1}X = 0 \implies A^{-1}.A.C^{c - 1} = A^{-1}.0 = 0 \implies C^{c - 1}X = 0 (**)$
Từ (*) và (**), ta có như sau: $C^{c - 2}.AX = -C^{c - 1}X = 0$, tương tự quá trình trên, ta thu gọn được $C^{c - 2}X = 0$.
Cứ tiếp tục như vậy cho đến cuối cùng, ta thu được $CX = 0$. Từ (*) thì điều này đồng nghĩa với $AX = 0$. Nghĩa là với mỗi giá trị $X$ là nghiệm của $(A + C)Y = 0$ thì $X$ cũng là nghiệm của phương trình $AT = 0$. (3)
Kết hợp (1), (2) và (3) ta thu được mâu thuẫn. Vậy $A + C$ là một ma trận khả nghịch.
Cách làm của em/bạn ý tưởng tốt, tuy nhiên có thể làm ngắn gọn hơn: vì $A$ và $C$ giao hoán nên $(-A)^{c}=C^{c}-(-A)^{c}=(C+A)(C^{c-1}+...+(-A)^{c-1})$. Vì $A$ khả nghịch nên $\det(-A)^{c}\neq 0$ và do đó $\det(C+A)\neq 0$ vì $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ với mọi ma trận vuông $A$, $B$ cấp $n$. Điều đó chứng tỏ $A+C$ là khả nghịch.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 29-09-2017 - 22:14
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh