Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $D=sin^5x+ \sqrt{3} cosx$
Tìm min, max $D=sin^5x+ \sqrt{3} cosx$
#1
Đã gửi 15-11-2005 - 09:34
#2
Đã gửi 17-12-2013 - 11:34
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $D=sin^5x+ \sqrt{3} cosx$
Xét hàm số $D(x)=sin^5x+\sqrt{3}cosx$
Vì hàm $y_{1}=sin^5x$ và hàm $y_{2}=\sqrt{3}cosx$ đều liên tục và tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ nên hàm $D(x)=y_{1}+y_{2}$ cũng liên tục và tuần hoàn với chu kỳ là $2\pi$.Do đó chỉ cần xét trên đoạn $\left [ -\pi ;\pi \right ]$
$D'(x)=5sin^4xcosx-\sqrt{3}sinx=sinx(5sin^3xcosx-\sqrt{3})$
$D'(x)=0\Leftrightarrow sinx=0$ (1) hoặc $5sin^3xcosx=\sqrt{3}$ (2)
(1) $\Leftrightarrow x=-\pi$ ; $x=0$ ; $x=\pi$
Dễ thấy $x=k\pi$ không phải là nghiệm của (2) nên có thể chia 2 vế của (2) cho $tanx$
(2) $\Leftrightarrow 5sin^2xcos^2x=\frac{\sqrt{3}}{tanx}\Leftrightarrow \frac{5}{4}sin^22x=\frac{\sqrt{3}}{tanx}$
Đặt $t=tanx$ ($t> 0$ vì $sin^3xcosx> 0$) $\Rightarrow sin2x=\frac{2t}{1+t^2}$
(2) $\Leftrightarrow \frac{5}{4}\left ( \frac{2t}{1+t^2} \right )^2=\frac{\sqrt{3}}{t}$
$\Leftrightarrow \sqrt{5}\frac{t}{1+t^2}=\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{t}}$ (vì $t> 0$)
$\Leftrightarrow \frac{1+t^2}{t\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt[4]{3}}$
$\Leftrightarrow \frac{t+\frac{1}{t}}{\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt[4]{3}}$ (3)
Xét hàm $f(t)=\frac{t+\frac{1}{t}}{\sqrt{t}}$ trên khoảng $(0;+\infty)$ ($f(t)$ liên tục trên khoảng này)
$f'(t)=0\Leftrightarrow t-\frac{3}{t}=0\Leftrightarrow t=\sqrt{3}$
$\Rightarrow f(t)$ đạt cực tiểu khi $t=\sqrt{3}$ và GTNN của $f(t)$ là $f_{min}=\frac{\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{3}}$
Dễ thấy $f_{min}> \frac{\sqrt{5}}{\sqrt[4]{3}}$ $\Rightarrow$ (3) vô nghiệm $\Rightarrow$ (2) vô nghiệm.
Vậy trên $\left [ -\pi ;\pi \right ]$, $D(x)$ chỉ đạt cực trị khi $x=k\pi$ ($k\in \left \{ -1;0;1 \right \}$)
$D(-\pi )=D(\pi )=-\sqrt{3};D(0)=\sqrt{3}$ suy ra trên $[-\pi;\pi]$, $D(x)$ đạt GTNN là $-\sqrt{3}$ và GTLN là $\sqrt{3}$
Và trên toàn tập xác định :
GTLN $D_{max}=\sqrt{3}$ khi $x=2m\pi$
GTNN $D_{min}=-\sqrt{3}$ khi $x=(2m+1)\pi$
($m\in \mathbb{Z}$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-12-2013 - 07:01
- diepviennhi và xxSneezixx thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 17-12-2013 - 11:49
$13\sqrt{2x^{2} - x^{4}} + 9 \sqrt{2x^{2}+x^{4}}=32$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh