Chủ đề này có 1 trả lời

[lehoanghiep]

Cho $x,y,z$ với $x=max\left \{ x;y;z \right \}$. Chứng minh rằng $\frac{x}{y}+\sqrt{1+\frac{y}{x}}+\sqrt[3]{1+\frac{z}{x}}\geq 1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}$.

[ngovtbx]

Cho $x,y,z$ với $x=max\left \{ x;y;z \right \}$. Chứng minh rằng $\frac{x}{y}+\sqrt{1+\frac{y}{x}}+\sqrt[3]{1+\frac{z}{x}}\geq 1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}$.

bạn post đề sai rùi, phải CMR: $\frac{x}{y}+\sqrt{1+\frac{y}{z}}+\sqrt[3]{1+\frac{z}{x}}\geq 1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$ 1 + \frac{y}{z} \geq 2\sqrt{\frac{y}{z}} $
$ 1 +\frac{z}{x} \geq 2\sqrt{\frac{z}{x}}$
$\frac{x}{y}+\sqrt{1+\frac{y}{z}}+\sqrt[3]{1+\frac{z}{x}} \geq \frac{x}{y} + 2\sqrt{2}\sqrt[4]{\frac{y}{z}} + 3\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{\frac{z}{x}} =A $
$A=(\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{x}{y} + 4\sqrt[4]{\frac{y}{z}} + 6\sqrt[6]{\frac{z}{x}}) + (1-\frac{\sqrt{2}}{2})\frac{x}{y} + 3(\sqrt[3]{2}-\sqrt{2})\sqrt[6]{\frac{z}{x}}$
Áp dung bất đẳng thức AM-GM, ta có
$ A \geq 11\sqrt[11]{\frac{xyz}{xyz}} + 1 - \sqrt{2} +3(\sqrt[3]{2}-\sqrt{2})$
(Do $\frac{x}{y} \geq 1, 1 \geq \frac{z}{x} $ và $\sqrt[3]{2}-\sqrt{2} <0)$
$ \Rightarrow \frac{x}{y}+\sqrt{1+\frac{y}{z}}+\sqrt[3]{1+\frac{z}{x}}\geq 1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{2} $