Chủ đề này có 5 trả lời

[NLT]

Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng số: $a=\frac{9^p-1}{8}$ là 1 hợp số lẻ, không chia hết cho $3$ và $a| 3^{a-1}-1$
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 07-11-2012 - 16:46

[Oral1020]

Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng số: $a=\frac{9^p-1}{8}$ là 1 hợp số lẻ, không chia hết cho $3$ và $a| 3^{a-1}-1$
___

Cái này là sao vậy anh $a| 3^{a-1}-1$

[Math Is Love]

Cái này là sao vậy anh $a| 3^{a-1}-1$

Cái này nghĩa là $3^{a-1}-1\vdots a$
Đọc là "$a$ chia hết $3^{a-1}-1$.Em cần phân biệt "chia hết" và "chia hết cho".

[nguyenta98]

Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng số: $a=\frac{9^p-1}{8}$ là 1 hợp số lẻ, không chia hết cho $3$ và $a| 3^{a-1}-1$
___

Giải như sau:
Ta có $a=\dfrac{(3^p)^2-1}{8}=\dfrac{(3^p-1)}{2}.\dfrac{3^p+1}{4}$ hiển nhiên là hợp số vì dễ cm $\dfrac{3^p-1}{2}$ và $\dfrac{3^p+1}{2}$ là số nguyên $>1$
Ta có $a-1=\dfrac{9^p-9}{8}=9.(9^{p-2}+9^{p-3}+...+9+1)$
Dễ thấy $9^{p-2}+9^{p-3}+...+9+1$ chẵn, như vậy suy ra $a-1$ chẵn
Mặt khác $a-1=\dfrac{9^p-9}{8} \vdots p$ do theo Fermat nhỏ và $gcd(p,2)=1$ nên suy ra $a-1 \vdots p$
Như vậy $a-1 \vdots 2p$
Do đó $3^{a-1}-1 \vdots 3^{2p}-1 \Rightarrow 3^{a-1}-1 \vdots 9^p-1 \Rightarrow 3^{a-1}-1 \vdots \dfrac{9^p-1}{8}=a$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 07-11-2012 - 17:51

[yeutoan11]

Giải như sau:
Ta có $a=\dfrac{(3^p)^2-1}{8}=\dfrac{(3^p-1)}{2}.\dfrac{3^p+1}{4}$ hiển nhiên là hợp số vì dễ cm $\dfrac{3^p-1}{2}$ và $\dfrac{3^p+1}{2}$ là số nguyên $>1$
Ta có $a-1=\dfrac{9^p-9}{8}=9.(9^{p-2}+9^{p-3}+...+9+1)$
Dễ thấy $9^{p-2}+9^{p-3}+...+9+1$ chẵn, như vậy suy ra $a-1$ chẵn
Mặt khác $a-1=\dfrac{9^p-9}{8} \vdots p$ do theo Fermat nhỏ và $gcd(p,2)=1$ nên suy ra $a-1 \vdots p$
Như vậy $a-1 \vdots 2p$
Do đó $3^{a-1}-1 \vdots 3^{2p}-1 \Rightarrow 3^{a-1}-1 \vdots 9^p-1 \Rightarrow 3^{a-1}-1 \vdots \dfrac{9^p-1}{8}=a$ đpcm

Bài này hình như có liên quan đến bổ đề : Nếu $a$ có dạng : $\frac{b^{2p}-1}{b^2-1}$
Với $p$nguyên tố $(b,p)=1$ thì $b^{a-1} -1\vdots a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 07-11-2012 - 18:00

[NLT]

Thực ra phần chứng minh cuối cùng đã được chứng minh tổng quát bởi nguyenta98 tại đây !
___