Chủ đề này có 2 trả lời

[Zaraki]

Gỉa sử $p$ là số nguyên tố, $a$ và $b$ là các số tự nhiên $(a<b)$ thỏa mãn điều kiện: Tổng các phân số tối giản có mẫu số $p$ nằm giữa $a$ và $b$ bằng $2011$. Tìm các số $p,a,b$.

[tienthcsln]

Gọi $S$ là tổng tất cả các phân số tối giản mẫu số $p$ nằm giữa $a$ và $b$.

Ta có:

$S=\frac{\overset{bp-1}{\underset{i=ap+1}{   \sum}i }-(\overset{b-1}{\underset{j=a+1}{   \sum}} j)p}{p}=\frac{(a+b)p(bp-ap-1)-(a+b)p(b-a-1)}{2p}=\frac{(a+b)((b-a)(p-1)-2)}{2}$

Do đó: $S=2011\Leftrightarrow (a+b)((b-a)(p-1)-2)=2.2011$ (*)

+ Nếu $a+b=1\Leftrightarrow a=0;b=1$ thay vào (*) ta được $p=4025$, vô lý.

+ Nếu $a+b=2\Leftrightarrow a=0;b=2\Rightarrow 2(p-2)=2011$, vô lý.

+ Nếu $a+b=2011\Leftrightarrow (2011-2a)(p-1)=4\Rightarrow 2011-2a=1\Rightarrow a=1005; p=5 \Rightarrow b=1006$, thoả mãn.

+ Nếu $a+b=2.2011\Rightarrow 2(2011-a)(p-1)=1$, vô lý.

Vậy $(a;b;p)=(1005;1006;5)$

[chanhquocnghiem]

Gỉa sử $p$ là số nguyên tố, $a$ và $b$ là các số tự nhiên $(a<b)$ thỏa mãn điều kiện: Tổng các phân số tối giản có mẫu số $p$ nằm giữa $a$ và $b$ bằng $2011$. Tìm các số $p,a,b$.

Đặt $b=a+m$ ($m$ là số tự nhiên)

Ta có : $a< \frac{ap+1}{p}< \frac{ap+2}{p}< \frac{ap+3}{p}< ... < \frac{ap+mp-1}{p}< b$

Hay $\frac{ap}{p}< \frac{ap+1}{p}< \frac{ap+2}{p}< \frac{ap+3}{p}< ... < \frac{ap+mp-1}{p}< \frac{ap+mp}{p}$

Gọi $S$ là tổng các phân số trong dãy trên ; $S'$ là tổng các phân số KHÔNG tối giản trong dãy trên.

$S=\frac{(ap)+(ap+1)+(ap+2)+...+(ap+mp)}{p}=\frac{(2ap+mp)(mp+1)}{2p}=\frac{(2a+m)(mp+1)}{2}$

$S'=\frac{ap}{p}+\frac{ap+p}{p}+\frac{ap+2p}{p}+...+\frac{ap+mp}{p}=\frac{(2ap+mp)(m+1)}{2p}=\frac{(2a+m)(m+1)}{2}$

$S=S'+2011 \Rightarrow 2S-2S'=4022$ $\Rightarrow (2a+m)(mp-m)=4022 \Rightarrow m(p-1)(2a+m)=4022=1.2.2011$ (chú ý $2011$ là số nguyên tố)

Vì $p$ là số nguyên tố nên chỉ có $2$ trường hợp :

$a)$ $p-1=1 \Rightarrow m(2a+m)=2.2011$

   + Nếu $m$ lẻ thì $2a+m$ cũng lẻ nên vế trái lẻ, mà vế phải chẵn $\Rightarrow$ vô nghiệm.

   + Nếu $m$ chẵn $\Rightarrow$ $m=2$ $\Rightarrow (2a+m)=2011$ (vô lý vì đang xét $m$ chẵn)

$b)$ $p-1=2$ hay $p=3$

   Khi đó $m(2a+m)=1.2011$ $\Rightarrow m=1$ ; $a=1005$ $\Rightarrow b=a+m=1006$

 

Trả lời : $p=3$ ; $a=1005$ ; $b=1006$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 22-06-2014 - 14:35