Chủ đề này có 5 trả lời

[thanhdatpro16]

$\left\{\begin{matrix}x^{3}+axy^{2}=\alpha & \\ x^{2}+bxy+y^{2}=cx+dy & \end{matrix}\right.$
Mình thấy rất nhiều bài toán dạng này, pp chung là sẽ nhân 2 PT với số nào đó rồi cộng 2 PT mới với nhau sẽ biểu diễn đc x theo y, hoặc tìm đc nghiệm luôn, nhưng cách tư duy để tìm ra số để nhân PT trong HPT là như thế nào vậy các bạn
VD:
1. $\left\{\begin{matrix}x^{3}+3xy^{2}=-49 & \\ x^{2}-8xy+y^{2}=-17x+8y & \end{matrix}\right.$
Trong hệ này mình thấy tác giả lấy PT (1) + 3. PT (2) đc $(x+1)[(x+1)^{2}+3(y-4)^{2}]=0$ nhưng tại sao lại nhân 3 mà ko nhân với số khác, bạn nào chỉ mình cách tìm ra nhân với 3 với.
2. $\left\{\begin{matrix}x^{2}+2xy+2y^{2}+3x=0 & \\ xy+y^{2}+3y+1=0 & \end{matrix}\right.$
Bài nầy lại lấy PT (1) + 2. PT (2) thì đc $(x+2y)^{2}+3(x+2y)+2=0$
Các bạn giúp mình với

[nthoangcute]

$\left\{\begin{matrix}x^{3}+axy^{2}=\alpha & \\ x^{2}+bxy+y^{2}=cx+dy & \end{matrix}\right.$
Mình thấy rất nhiều bài toán dạng này, pp chung là sẽ nhân 2 PT với số nào đó rồi cộng 2 PT mới với nhau sẽ biểu diễn đc x theo y, hoặc tìm đc nghiệm luôn, nhưng cách tư duy để tìm ra số để nhân PT trong HPT là như thế nào vậy các bạn
VD:
1. $\left\{\begin{matrix}x^{3}+3xy^{2}=-49 & \\ x^{2}-8xy+y^{2}=-17x+8y & \end{matrix}\right.$
Trong hệ này mình thấy tác giả lấy PT (1) + 3. PT (2) đc $(x+1)[(x+1)^{2}+3(y-4)^{2}]=0$ nhưng tại sao lại nhân 3 mà ko nhân với số khác, bạn nào chỉ mình cách tìm ra nhân với 3 với.
2. $\left\{\begin{matrix}x^{2}+2xy+2y^{2}+3x=0 & \\ xy+y^{2}+3y+1=0 & \end{matrix}\right.$
Bài nầy lại lấy PT (1) + 2. PT (2) thì đc $(x+2y)^{2}+3(x+2y)+2=0$
Các bạn giúp mình với

Thủ thuật thì có nhiều, nhưng yêu cầu của bạn là làm tổng quát, mình cũng đưa cho bạn công thức tổng quát luôn (công thức đầu năm lớp 10 của mình):
Cho hệ: $$\left\{\begin{matrix} ax^2+by^2+cxy+dx+ey=0\\a_{{1}}{x}^{2}+b_{{1}}{y}^{2}+c_{{1}}xy+d_{{1}}x+e_{{1}}y=0\end{matrix}\right.$$
Hệ số mà cần nhân phương trình thứ 2 là $k$ rồi lấy phương trình thứ nhất trừ đi, tức là như sau:
$$a{x}^{2}+b{y}^{2}+cxy+dx+ey-k \left( a_{{1}}{x}^{2}+b_{{1}}{y}^{2}+c_{
{1}}xy+d_{{1}}x+e_{{1}}y \right) =0$$
$k$ sẽ là nghiệm của phương trình bậc 3 sau:
$$mk^3+nk^2+pk+q=0$$
Với:
$$m=c_1d_1e_1-a_1e_1^2-b_1d_1^2\\n=2a_1e_1e+2b_1d_1d+bd_1^2+ae_1^2-cd_1e_1-dc_1e_1-ec_1d_1\\
p=-{e}^{2}a_{{1}}+dce_{{1}}-2aee_{{1}}-{d}^{2}b_{{1}}+edc_{{1}}-2dd_
{{1}}b+cd_{{1}}e\\
q=-cde+ae^2+bd^2$$

Nếu thích tổng quát hơn nữa, tức là hệ:
$$\left\{\begin{matrix} ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0\\a_{{1}}{x}^{2}+b_{{1}}{y}^{2}+c_{{1}}xy+d_{{1}}x+e_{{1}}y+f_1=0\end{matrix}\right.$$
Ta tìm $k$ như sau:
$$m=-4f_{{1}}b_{{1}}a_{{1}}+{d_{{1}}}^{2}b_{{1}}+f_{{1}}{c_{{1}}}^{2}-c_
{{1}}d_{{1}}e_{{1}}+{e_{{1}}}^{2}a_{{1}}\\
n=4fa_{{1}}b_{{1}}-a{e_{{1}}}^{2}+cd_{{1}}e_{{1}}-2f_{{1}}cc_{{1}}+4
af_{{1}}b_{{1}}-2ea_{{1}}e_{{1}}+dc_{{1}}e_{{1}}-f{c_{{1}}}^{2}-2
dd_{{1}}b_{{1}}+c_{{1}}d_{{1}}e+4f_{{1}}ba_{{1}}-{d_{{1}}}^{2}b
\\
p=-4af_{{1}}b-cd_{{1}}e+2fcc_{{1}}-4afb_{{1}}+f_{{1}}{c}^{2}+{d}^{
2}b_{{1}}+2dd_{{1}}b-4fa_{{1}}b+{e}^{2}a_{{1}}+2aee_{{1}}-edc_{{
1}}-dce_{{1}}
\\
q=-{d}^{2}b+4afb-a{e}^{2}-f{c}^{2}+edc$$

[thanhdatpro16]

Thủ thuật thì có nhiều, nhưng yêu cầu của bạn là làm tổng quát, mình cũng đưa cho bạn công thức tổng quát luôn (công thức đầu năm lớp 10 của mình):
Cho hệ: $$\left\{\begin{matrix} ax^2+by^2+cxy+dx+ey=0\\a_{{1}}{x}^{2}+b_{{1}}{y}^{2}+c_{{1}}xy+d_{{1}}x+e_{{1}}y=0\end{matrix}\right.$$
Hệ số mà cần nhân phương trình thứ 2 là $k$ rồi lấy phương trình thứ nhất trừ đi, tức là như sau:
$$a{x}^{2}+b{y}^{2}+cxy+dx+ey-k \left( a_{{1}}{x}^{2}+b_{{1}}{y}^{2}+c_{
{1}}xy+d_{{1}}x+e_{{1}}y \right) =0$$
$k$ sẽ là nghiệm của phương trình bậc 3 sau:
$$mk^3+nk^2+pk+q=0$$
Với:
$$m=c_1d_1e_1-a_1e_1^2-b_1d_1^2\\n=2a_1e_1e+2b_1d_1d+bd_1^2+ae_1^2-cd_1e_1-dc_1e_1-ec_1d_1\\
p=-{e}^{2}a_{{1}}+dce_{{1}}-2aee_{{1}}-{d}^{2}b_{{1}}+edc_{{1}}-2dd_
{{1}}b+cd_{{1}}e\\
q=-cde+ae^2+bd^2$$

Nếu thích tổng quát hơn nữa, tức là hệ:
$$\left\{\begin{matrix} ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0\\a_{{1}}{x}^{2}+b_{{1}}{y}^{2}+c_{{1}}xy+d_{{1}}x+e_{{1}}y+f_1=0\end{matrix}\right.$$
Ta tìm $k$ như sau:
$$m=-4f_{{1}}b_{{1}}a_{{1}}+{d_{{1}}}^{2}b_{{1}}+f_{{1}}{c_{{1}}}^{2}-c_
{{1}}d_{{1}}e_{{1}}+{e_{{1}}}^{2}a_{{1}}\\
n=4fa_{{1}}b_{{1}}-a{e_{{1}}}^{2}+cd_{{1}}e_{{1}}-2f_{{1}}cc_{{1}}+4
af_{{1}}b_{{1}}-2ea_{{1}}e_{{1}}+dc_{{1}}e_{{1}}-f{c_{{1}}}^{2}-2
dd_{{1}}b_{{1}}+c_{{1}}d_{{1}}e+4f_{{1}}ba_{{1}}-{d_{{1}}}^{2}b
\\
p=-4af_{{1}}b-cd_{{1}}e+2fcc_{{1}}-4afb_{{1}}+f_{{1}}{c}^{2}+{d}^{
2}b_{{1}}+2dd_{{1}}b-4fa_{{1}}b+{e}^{2}a_{{1}}+2aee_{{1}}-edc_{{
1}}-dce_{{1}}
\\
q=-{d}^{2}b+4afb-a{e}^{2}-f{c}^{2}+edc$$

Bạn ơi đấy là tổng quát của VD2 thôi, vậy bạn có tổng quát của ví dụ 1 hay ko, hay là thủ thuật nào tìm ra k không vậy bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdatpro16: 05-12-2012 - 19:20

[nthoangcute]

Bạn ơi đấy là tổng quát của VD2 thôi, vậy bạn có tổng quát của ví dụ 1 hay ko, hay là thủ thuật nào tìm ra k không vậy bạn

Thôi được rồi, tổng quát VD1 nè:
Xét hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
x^3+axy^2-b=0\\
x^2+cxy+y^2-dx-ey=0
\end{matrix}\right.$$
Hệ số $k$ mà lấy $PT(1)-k PT(2)$ là nghiệm của hệ phương trình sau:

$$\left\{\begin{matrix}
(a+1)(a^2+1-2a+ac^2)k^3-4a^2(-d+ce+ad)k^2+8a^3b=0\\
(a^2+1-2a+ac^2)^2k^3-8a^2d(a^2+1-2a+ac^2)k^2+16a^3(e^2+ad^2)k-64a^3b=0
\end{matrix}\right.$$

Nếu đề bài là một hệ đẹp (thường có trong đề thi đại học) thì chỉ cần giải một trong hai phương trình của hệ trên

Thủ thuật thì tất nhiên là có, nhưng hơi dài một tẹo.
Thủ thuật 1: (Hạn chế dùng, áp dụng cho hệ ngắn như 2 ví dụ trên)
Giả sử hệ có hai nghiệm $(a,b);(c,d)$ hoặc nhiều hơn thì kệ
Dễ thấy khi lấy $PT(1)-kPT(2)$ thì sẽ có nhân tử là một đa thức mà ở đó có mối liên hệ giữa $x$ và $y$. VD: $mx+ny+p=0$
Do đó, ta sẽ giải hệ:

$$\left\{\begin{matrix}
ma+nb+p=0\\
mc+nd+p=0
\end{matrix}\right.$$
(Hệ trong Casio nên giải rất nhanh)
Biết $m,n,p$ rồi thì kiểu gì cũng có nhân tử $(mx+ny+p)$ hay $x=\frac{-ny-p}{m}$
Thế $x$ vào phương trình $PT(1)-kPT(2)=0$ ta sẽ phân tích thành nhân tử , kiểu gì cũng phân tích được đến cùng, đến khi có nhân tử $k=$ một cái gì đó đơn giản
(Cách ấn nhanh: Viết phương trình $PT(1)-X * PT(2)=0$ vào CASIO với $x$ đã được thay thế thành $x=\frac{-ny-p}{m}$. Giải phương trình trên theo $X$, tức $X=k$. Do đó cho bừa $y$ là một giá trị nào cũng được, máy sẽ giải ra $X$)

Nhược điểm: Không nên dùng trong kì thi (thừa thời gian thì mới dùng cho nó ảo), cần phải biết trước ít nhất 2 cặp nghiệm, hơi khó nhỉ ?
Thủ thuật 2: (Mai post sau, giờ mệt quá)

[trangxoai1995]

Thôi được rồi, tổng quát VD1 nè:
Xét hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
x^3+axy^2-b=0\\
x^2+cxy+y^2-dx-ey=0
\end{matrix}\right.$$
Hệ số $k$ mà lấy $PT(1)-k PT(2)$ là nghiệm của hệ phương trình sau:

$$\left\{\begin{matrix}
(a+1)(a^2+1-2a+ac^2)k^3-4a^2(-d+ce+ad)k^2+8a^3b=0\\
(a^2+1-2a+ac^2)^2k^3-8a^2d(a^2+1-2a+ac^2)k^2+16a^3(e^2+ad^2)k-64a^3b=0
\end{matrix}\right.$$

Nếu đề bài là một hệ đẹp (thường có trong đề thi đại học) thì chỉ cần giải một trong hai phương trình của hệ trên

Thủ thuật thì tất nhiên là có, nhưng hơi dài một tẹo.
Thủ thuật 1: (Hạn chế dùng, áp dụng cho hệ ngắn như 2 ví dụ trên)
Giả sử hệ có hai nghiệm $(a,b);(c,d)$ hoặc nhiều hơn thì kệ
Dễ thấy khi lấy $PT(1)-kPT(2)$ thì sẽ có nhân tử là một đa thức mà ở đó có mối liên hệ giữa $x$ và $y$. VD: $mx+ny+p=0$
Do đó, ta sẽ giải hệ:

$$\left\{\begin{matrix}
ma+nb+p=0\\
mc+nd+p=0
\end{matrix}\right.$$
(Hệ trong Casio nên giải rất nhanh)
Biết $m,n,p$ rồi thì kiểu gì cũng có nhân tử $(mx+ny+p)$ hay $x=\frac{-ny-p}{m}$
Thế $x$ vào phương trình $PT(1)-kPT(2)=0$ ta sẽ phân tích thành nhân tử , kiểu gì cũng phân tích được đến cùng, đến khi có nhân tử $k=$ một cái gì đó đơn giản
(Cách ấn nhanh: Viết phương trình $PT(1)-X * PT(2)=0$ vào CASIO với $x$ đã được thay thế thành $x=\frac{-ny-p}{m}$. Giải phương trình trên theo $X$, tức $X=k$. Do đó cho bừa $y$ là một giá trị nào cũng được, máy sẽ giải ra $X$)

Nhược điểm: Không nên dùng trong kì thi (thừa thời gian thì mới dùng cho nó ảo), cần phải biết trước ít nhất 2 cặp nghiệm, hơi khó nhỉ ?
Thủ thuật 2: (Mai post sau, giờ mệt quá)

Em ơi, nếu thủ thuật 2 được áp dụng nhiều hơn thì em post lên cho mọi người xem được không? Chị cảm ơn nhé.

[25 minutes]

Nếu thích tổng quát hơn nữa, tức là hệ:
$$\left\{\begin{matrix} ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0\\a_{{1}}{x}^{2}+b_{{1}}{y}^{2}+c_{{1}}xy+d_{{1}}x+e_{{1}}y+f_1=0\end{matrix}\right.$$
Ta tìm $k$ như sau:
$$m=-4f_{{1}}b_{{1}}a_{{1}}+{d_{{1}}}^{2}b_{{1}}+f_{{1}}{c_{{1}}}^{2}-c_
{{1}}d_{{1}}e_{{1}}+{e_{{1}}}^{2}a_{{1}}\\
n=4fa_{{1}}b_{{1}}-a{e_{{1}}}^{2}+cd_{{1}}e_{{1}}-2f_{{1}}cc_{{1}}+4
af_{{1}}b_{{1}}-2ea_{{1}}e_{{1}}+dc_{{1}}e_{{1}}-f{c_{{1}}}^{2}-2
dd_{{1}}b_{{1}}+c_{{1}}d_{{1}}e+4f_{{1}}ba_{{1}}-{d_{{1}}}^{2}b
\\
p=-4af_{{1}}b-cd_{{1}}e+2fcc_{{1}}-4afb_{{1}}+f_{{1}}{c}^{2}+{d}^{
2}b_{{1}}+2dd_{{1}}b-4fa_{{1}}b+{e}^{2}a_{{1}}+2aee_{{1}}-edc_{{
1}}-dce_{{1}}
\\
q=-{d}^{2}b+4afb-a{e}^{2}-f{c}^{2}+edc$$

Nhớ được đoạn này thì 

Cách của em là dùng trong trường  hợp tổng quát hoá bài toán, nhưng đề thi ĐH không dùng nhiều đến thế, chỉ cần tinh ý, biến đổi 1 chút là ra. Dù sao cũng cảm phục em rất nhiều