Chủ đề này có 4 trả lời

[tramyvodoi]

Giải phương trình nghiệm nguyên :
$x^2 - 6xy + 13y^{2} = 100$

[IloveMaths]

$x^2-6xy+13y^2=100\Leftrightarrow (x-3y)^2+4y^2=100\Rightarrow 4y^2\leqslant 100\Rightarrow y^2\leq 25\Rightarrow -5\leqslant y\leqslant 5$
lap bang tim x

[duongtoi]

PT tương đương với $(x-3y)^2+4y^2=10^2$.
Mặt khác, chỉ có $(\pm 6)^2+(\pm 8^2)=10^2$.
Vậy nên ta có các TH xảy ra,
TH1: $y=-4$ ta có $x-3y=\pm 6\Rightarrow x=-6;x=-18$
TH2: $y=4$ ta có $x-3y=\pm 6\Rightarrow x=6;x=18$
Th3: $y=-3$ ta có $x-3y=\pm 8\Rightarrow x=-1;x=-17$
TH4: $y=3$ ta có $x-3y=\pm 8\Rightarrow x=1;x=17$

[snowwhite]

PT tương đương với $(x-3y)^2+4y^2=10^2$.
Mặt khác, chỉ có $(\pm 6)^2+(\pm 8^2)=10^2$.
Vậy nên ta có các TH xảy ra,
TH1: $y=-4$ ta có $x-3y=\pm 6\Rightarrow x=-6;x=-18$
TH2: $y=4$ ta có $x-3y=\pm 6\Rightarrow x=6;x=18$
Th3: $y=-3$ ta có $x-3y=\pm 8\Rightarrow x=-1;x=-17$
TH4: $y=3$ ta có $x-3y=\pm 8\Rightarrow x=1;x=17$

Trường họp $0^2$+$10^2$$=100$và$10^2$+$0^2$$=100$thì sao bạn
Mình làm thế này
Ta thấy $VP\vdots 4 \Rightarrow VT\vdots 4$ Do$(4y^2)\vdots 4$ nên$ (x-3y)^2\vdots 4 $ Mặt khac : $0\leq (x-3y)^2\leq 100 $ Từ đó $\Rightarrow (x-3y)^2=0;16;36;64;100 $

[tramyvodoi]

Một cách khác :
Viết phương trình đã cho dưới dạng : $\left ( x - 3y \right )^{2} = 4\left ( 25 - y^{2} \right )$. $(1)$
Từ $(1)$ ta suy ra $y^{2} \leq 25$ và $25 - y^{2}$ là số chính phương. Vậy :
$y^{2} \in \left \{ 0 ; 9 ; 16 ; 25 \right \} \Rightarrow y \in \left \{ 0 ; \pm 3 ; \pm 4 ; \pm 5 \right \}$.
Từ đó ta có $12$ nghiệm : $\left ( x, y \right )$ : $\left ( 10, 0 \right ) ; \left ( -10, 0 \right ) ; \left ( 17, 3 \right ) ; \left ( 1, 3 \right ) ; \left ( -17, -3 \right ) ; \left ( -1, -3 \right ) ; \left ( 6, 4 \right ) ; \left ( 18, 4 \right ) ; \left ( -18, -4 \right ) ; \left ( -6, -4 \right ) ; \left ( 15, 5 \right ) ; \left ( -15, 5 \right )$