Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Chứng minh rằng $\forall a,b,c,x,y,z>0$ ta luôn có bất đẳng thức:
$$\frac{a}{b+c}(y+z)+\frac{b}{a+c}(x+z)+\frac{c}{a+b}(x+y)\geq \frac{3(xy+yz+zx)}{x+y+z}$$
Bài toán 2.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực thuộc đoạn $[1;2]$. Chứng minh rằng:
$$\frac{10a}{bc}+\frac{11b}{ac}+\frac{12c}{ab}\leq \frac{69}{2}$$

[hoangtrunghieu22101997]

Bài toán 1.
Chứng minh rằng $\forall a,b,c,x,y,z>0$ ta luôn có bất đẳng thức:
$$\frac{a}{b+c}(y+z)+\frac{b}{a+c}(x+z)+\frac{c}{a+b}(x+y)\geq \frac{3(xy+yz+zx)}{x+y+z}$$

Ta chứng minh một bất đẳng thức chặt hơn
$$\frac{a}{b+c}(y+z)+\frac{b}{a+c}(x+z)+\frac{c}{a+b}(x+y) \ge \sum \sqrt{(x+y)(x+z)}-(x+y+z)$$

CHứng minh
$LHS=(a+b+c)(\dfrac{y+z}{b+c}+\dfrac{z+x}{a+c}+\dfrac{x+y}{a+b})-2(x+y+z)$
Sử dụng Cauchy - Schwarz
Có: $LHS \ge \dfrac{1}{2}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})^2-2(x+y+z)$
$LHS \ge \sum \sqrt{(x+y)(x+z)}-(x+y+z)$ - Xong phần đầu

H cần cm: $\sum \sqrt{(x+y)(x+z)}-(x+y+z) \ge \dfrac{3(xy+yz+zx)}{x+y+z}$
Thật vậy:
$\sum \sqrt{(x+y)(x+z)}-(x+y+z) \ge \sqrt{3(xy+yz+zx)} \ge \dfrac{3(xy+yz+zx)}{x+y+z}$
--------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 10-12-2012 - 16:58

[Poseidont]

Bài 1 http://diendantoanho...eq-sqrt3abbcca/