Chủ đề này có 5 trả lời

[dark templar]

Bài này coi như em góp vô chuyên đề Đẳng thức tổ hợp của anh Thanh nhé
Bài toán: Hãy tính tổng :$\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{-1}$.

______________
hxthanh: Em làm bằng cách nào thế?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 21-12-2012 - 20:04
Lộn đề.

[gogo123]

Em làm được vầy thôi thầy, đóng góp vào vào cái chuyên đề ĐTTH của thầy luôn .
Lời giải:
Đặt $a_n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{-1}$.
Ta có:
$$\frac{2a_{n+1}}{n+2}=\frac{1}{n+2}\left ( \sum_{i=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}^{-1}+ \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{i}^{-1}\right )$$
$=\frac{2}{n+2}+\frac{1}{n+2}\sum_{k=0}^{n}\left ( \binom{n+1}{k}^{-1}+\binom{n+1}{i+1}^{-1} \right )$
$=\frac{2}{n+2}+\frac{1}{n+2}\sum_{k=0}^{n}\frac{k!(n+1-k)!+(k+1)!(n-k)!}{(n+1)!}$
$=\frac{2}{n+2}+\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\frac{k!(n-k)!}{n!}
=\frac{a_n}{n+1}+\frac{2}{n+2}$
Như vậy $$a_{n+1}=\frac{n+2}{2(n+1)}a_n+1$$
Đến đây xét dãy $x_n=\frac{a_n}{n+1}$ có công thức truy hồi là $2x_{n+1}=x_n+\frac{2}{n+2}$
Bây giờ ta chỉ cần tìm $f(n)$ sao cho $2f(n+1)-f(n)=\frac{2}{n+2}$ để đưa về dãy $u_{n}=x_n-f(n)$ và có CTTH là
$$2u_{n+1}=u_n$$
Nhưng tạm thời em chưa tìm ra $f(n)$, để sau vậy hoặc là nhờ mem khác, chắc không khó lắm đâu .

Thầy cho em tham gia làm ĐTTH với, em thích phần sử dụng hàm sinh lắm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogo123: 25-12-2012 - 23:31

[dark templar]

Nếu ai thấy hứng thú với bài toán trên thì đọc thêm tài liệu này:
 0907.3174.pdf   91.92K   135 Số lần tải
Trong tài liệu đã chỉ ra rằng :
$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{-1}=\dfrac{n+1}{2^{n}}\sum_{j=0}^{n}\dfrac{2^{j}}{j+1}$$
Và :
$$2\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{-2}=\dfrac{(n+1)^3}{2n^3+3n^2}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}^{-2}+\dfrac{3n^3+3n^2+3n+1}{2n^3+3n^2}$$

Tổng quát hơn nữa:
$$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}^{-m}=(n+1)^{m}\sum_{k=0}^{m}\left[\sum_{j=0}^{k}\dfrac{(-1)^{j}}{n-k+1+j}\binom{k}{j} \right]^{m}$$

[dark templar]

Chúng ta nên định nghĩa lại thôi. định nghĩa: tính $S=\sum$ nghĩa là ta tính ra S dưới dạng hữu hạn phép tính , hay là có số phép tính tính theo $S=\prod$. nếu biết bài trên biểu diễn như vậy thì bài trên không cần tính tiếp cái $\sum$ tiếp theo. mà để vậy luôn.

Cái đó là viết dưới dạng tuyến tính giữa $S_{n}$ và $S_{n-1}$,tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng có thể tìm ra kết quả cuối cùng dựa trên biểu thức truy hồi này được

[gogo123]

Giờ mới hiêu tại sao không có CTTQ, bởi vì $f(n)$ không thể là hàm được.
Cũng giông như tổng điều hòa $H_n$,không thể có CTTQ

[phudinhgioihan]

Bài này coi như em góp vô chuyên đề Đẳng thức tổ hợp của anh Thanh nhé
Bài toán: Hãy tính tổng :$\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{-1}$.

______________
hxthanh: Em làm bằng cách nào thế?

Em làm được vầy thôi thầy, đóng góp vào vào cái chuyên đề ĐTTH của thầy luôn .
Lời giải:
Đặt $a_n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{-1}$.
Ta có:
$$\frac{2a_{n+1}}{n+2}=\frac{1}{n+2}\left ( \sum_{i=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}^{-1}+ \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{i}^{-1}\right )$$
$=\frac{2}{n+2}+\frac{1}{n+2}\sum_{k=0}^{n}\left ( \binom{n+1}{k}^{-1}+\binom{n+1}{i+1}^{-1} \right )$
$=\frac{2}{n+2}+\frac{1}{n+2}\sum_{k=0}^{n}\frac{k!(n+1-k)!+(k+1)!(n-k)!}{(n+1)!}$
$=\frac{2}{n+2}+\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\frac{k!(n-k)!}{n!}
=\frac{a_n}{n+1}+\frac{2}{n+2}$
Như vậy $$a_{n+1}=\frac{n+2}{2(n+1)}a_n+1$$
Đến đây xét dãy $x_n=\frac{a_n}{n+1}$ có công thức truy hồi là $2x_{n+1}=x_n+\frac{2}{n+2}$
Bây giờ ta chỉ cần tìm $f(n)$ sao cho $2f(n+1)-f(n)=\frac{2}{n+2}$ để đưa về dãy $u_{n}=x_n-f(n)$ và có CTTH là
$$2u_{n+1}=u_n$$
Nhưng tạm thời em chưa tìm ra $f(n)$, để sau vậy hoặc là nhờ mem khác, chắc không khó lắm đâu .

Thầy cho em tham gia làm ĐTTH với, em thích phần sử dụng hàm sinh lắm.

gogo123 đã gần đạt tới kết quả, tiếc là xử lý dãy số chưa hợp lý nên bế tắc.

Theo trên ta đã chứng minh được

$$\frac{2a_{n+1}}{n+2}=\frac{a_n}{n+1}+\frac{2}{n+2}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{2^{n+2}}{n+2} a_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{n+1}a_n+\dfrac{2^{n+2}}{n+2} =\dfrac{2^{n}}{n}a_{n-1}+\dfrac{2^{n+1}}{n+1}+\dfrac{2^{n+2}}{n+2} $$

$$=...=2a_0+\sum_{k=2}^{n+2} \dfrac{2^k}{k}=\sum_{k=1}^{n+2}\dfrac{2^k}{k}$$

Suy ra $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^{-1}=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{2^k}{k}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 17-03-2013 - 22:09