Đến nội dung

Hình ảnh

ĐỀ THI CHUYỂN HỆ KÌ I MÔN TOÁN-LỚP 10


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
MazacarJin15

MazacarJin15

    True Blue

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
Trường ĐHSP Hà Nội CỘNG HÒA XẢ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Trường THPT Chuyên Độc lập-Tự do-Hạnh phúc
______****______

ĐỀ THI CHUYỂN HỆ KÌ I MÔN TOÁN-LỚP 10

Năm học 2012-2013

Thời gian : 150 phút


Câu 1: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+\left [ y \right ]+\left \{ z \right \}=200,2\\\left \{ x \right \}+y+\left [ z \right ]=200,1 \\ \left [ x \right ]+\left \{ y \right \}+z=200,0 \end{matrix}\right.$

Với $\left [ a \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và $\left \{ a \right \}+\left [ a \right ]=a$.

Câu 2: Cho 47 số nguyên dương $a_{0},...,a_{46}$ thỏa mãn $a_{0}=1$ và $a_{k}a_{k-1}\equiv k \left ( mod 47 \right )$ với mọi số nguyên $k=1,...,46$. CMR: $a_{46}\equiv -1 ( mod 47)$.

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có đường tròn ngoại tiếp là $ (O) $ . Gọi $I$ và $I_{a}$ tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$. Lấy $M$ là điểm chính giữa của cung lớn $BC$ . $K$ là đối xứng của $I$ qua $O$. Đường tròn $(K;KI_{a})$ cắt $MI_{a}$ và cắt đường tròn đường kính $II_{a}$ tại các điểm thứ 2 là $N$ và $Q$. Gọi $P$ là đối xứng của $N$ qua $M$.
CMR:
a, $ M,I,Q $ thẳng hàng.
b, $AM,IP,I_{a}Q $ đồng quy.

Câu 4: Cho $A,B$ là hai tập con khác rỗng của tập $\left \{ 1,2,...,2011 \right \}$ thỏa mãn $\left | A \right |+\left | B \right | \geq 2012$. CMR tồn tại $a\in A,b\in B$ thỏa mãn $a+b=2012$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MazacarJin15: 25-12-2012 - 18:12

Hình đã gửi

#2
MazacarJin15

MazacarJin15

    True Blue

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
Mình giải câu 2 trước :D
Có $a_{k}a_{k-1}\equiv k ( mod 47)$
Cho $k$ chạy từ $1->46$ rồi nhân các đồng dư thức lại với nhau ta có :
$a_{0}\left ( a_{1}a_{2}...a_{45} \right )^{2}a_{46}\equiv 46!\equiv -1 (mod 47)$ ( Định lý Wilson )
Suy ra $\left ( a_{1}a_{2}...a_{45}a_{46} \right )^{2}\equiv -a_{46} (mod 47)$. ( Do $a_{0}=1$ ).
Ta cần chứng minh : $\left ( a_{1}a_{2}...a_{45}a_{46} \right )^{2}\equiv 1 (mod 47)$
Bổ đề:
Cho $p\in \mathbb{P}$ lẻ. CMR:
$2.4.6....(p-1)\equiv 1.3.5....(p-2) (-1)^{\frac{p-1}{2}}$.
CM: Có $2\equiv (-1)(p-2) (mod p )$
$2k\equiv (-1)(p-2k) ( mod p) $.
Cho k chạy từ 1 đến $\frac{p-1}{2}$ rồi nhân các đồng dư thức ta có điều phải chứng minh.

Trở lại bài toán, theo bổ đề có :
$2.4.6....46\equiv 1.3.5....45.(-1)^{23} (mod 47) $.
Suy ra :
$(2.4.6....46)^2\equiv 46!.(-1)^{23} (mod 47) $.
Có:$\left ( a_{1}...a_{45}a_{46} \right )^{2}=(a_{2}a_{1})^2.(a_{4}a_{3})^2....(a_{46}a_{45})^2\equiv (2.4.6...46)^2\equiv 46!(-1)^{23}\equiv 1 (mod 47)$.
Bài toán chứng minh xong $\blacksquare$

p/s : giá như trong phòng thi mình làm đc đầy đủ T^T

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MazacarJin15: 25-12-2012 - 18:35

Hình đã gửi

#3
Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết

Trường ĐHSP Hà Nội CỘNG HÒA XẢ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Trường THPT Chuyên Độc lập-Tự do-Hạnh phúc
______****______

ĐỀ THI CHUYỂN HỆ KÌ I MÔN TOÁN-LỚP 10

Năm học 2012-2013

Thời gian : 150 phút


Câu 1: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+\left [ y \right ]+\left \{ z \right \}=200,2\\\left \{ x \right \}+y+\left [ z \right ]=200,1 \\ \left [ x \right ]+\left \{ y \right \}+z=200,0 \end{matrix}\right.$

Với $\left [ a \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và $\left \{ a \right \}+\left [ a \right ]=a$.

Câu 2: Cho 47 số nguyên dương $a_{0},...,a_{46}$ thỏa mãn $a_{0}=1$ và $a_{k}a_{k-1}\equiv k \left ( mod 47 \right )$ với mọi số nguyên $k=1,...,46$. CMR: $a_{46}\equiv -1 ( mod 47)$.

Để mình chém xem sao:
Câu 1:
Cộng theo vế cả ba phương trình,ta thu được: $x+y+z=300,15$
Lấy PT $(1)+(2)-(3)$,ta thu được:
$2\left \{ x \right \}+2\left [ y \right ]=200,3\Leftrightarrow \left \{ x \right \}+\left [ y \right ]=100,15$
Tương tự như vậy,ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix} \left \{ x \right \}+\left [ y \right ]=100,15\\ \left \{ y \right \}+\left [ z \right ]=99,95\\ \left \{ z \right \}+\left [ x \right ]=100,05\end{matrix}\right.$
Vì $$0\leq \left \{ x \right \};\left \{ y \right \};\left \{ z \right \}< 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left \{ x \right \}=0,15\\ \left \{ y \right \}=0,95\\ \left \{ z \right \}=0,05\end{matrix}\right.$$
và $$\left\{\begin{matrix} \left [ y \right ]=100\\ \left [ z \right ]=99\\ \left [ x \right ]=100\end{matrix}\right.$$
Từ đây,ta tính được $x;y;z$

Bài 2:
Ta có:$\prod^{46}_{k=0} x_k=x_0.(x_1.x_2)(x_3.x_4)...(x_{45}.x_{46})\equiv 1.2.4.6....46$ $(\mod 47)$
$\Rightarrow \prod^{46}_{k=0} x_k\equiv 1.(2.1)(2.2)(2.3)...(2.23)\equiv 2^{23}.1.2.3....23$
$\Rightarrow (\prod^{46}_{k=0} x_k)^2\equiv 2^{46}(1.2.3....23)^2$
Áp dụng định lí $Fermat$ nhỏ,ta có:
$2^{46}\equiv 1$ $(\mod 47)$
Áp dụng định lí $Willson$,ta có:
$-1\equiv 1.2.3...46\equiv 1.2.3...23.(-23)(-22)...(-2)(-1)\equiv -(1.2.3...23)^2$ $(\mod 47)$
$\Rightarrow (1.2.3...23)^2 \equiv 1$ $(\mod 47)$
Vậy $(\prod^{46}_{k=0} x_k)^2\equiv 1$ $(\mod 47)$
Mặt khác,cũng theo định lí $Willson$,ta có:
$a_0.a_{46}.\prod ^{45}_{k=1}=(a_0.a_1)(a_1.a_2)...(a_{45}a_{46})\equiv 46! \equiv -1$ $(\mod 47)$
Vậy $\Rightarrow a_0.a_{46}\equiv -1$ $(\mod 47)$
Vậy $\Rightarrow a_{46}\equiv -1$ $(\mod 47)$
$Q.E.D$
$$***************************$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 15-01-2013 - 22:22

Hình đã gửi


#4
demonhunter000

demonhunter000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
Bài 4:Ta chứng minh bài toán tổng quát và chặt hơn với tập $$P=\left \{ 1,2,...2n+1 \right \}$$.$Chọn A,B\subset P$ sao cho $\left | A \right |+\left | B \right |= 2n+2$ thì luôn tồn tại $a\in A$ và $b\in B$ sao cho $a+b=2012$.
Gọi $\left | A \right |=x$ suy ra $\left | B \right |=2n+2-x$.Giả sử:không tồn tại $a\in A$ sao cho tm đề bài:có x phần tử .Suy ra số phần tử của B $\leqslant 2n+1-x \leqslant 2n+2-x$.Suy ra vô lí.Suy ra điều giả sử sai.
$Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi demonhunter000: 25-12-2012 - 21:55


#5
davildark

davildark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
Còn mỗi câu hình chém lun :D
Hình đã gửi

a) Gọi E là điểm giữa cung nhỏ BC dễ dàng chứng minh E là trung điểm $II_{a}$
Ta có $OI=OK$ và $OM=ON$
$\Rightarrow KE // MI $
Mà $ KE \perp QI_{a} $
$\Rightarrow MI \perp QI_{a}$
Mà $\widehat{IQI_{a}}=90^{\circ} \Rightarrow IQ \perp QI_{a}$
Vậy M , I , Q thẳng hàng
b) Gọi $F=QM \cap I_{a}K$ và $S=AM\cap QI_{a}$
Ta có $\widehat{FQI_{a}}=90^{\circ}$
Nên F là điểm đối xứng với $I_{a}$ qua K $\Rightarrow =\widehat{I_{a}NF}=90^{\circ}$
Xét $\bigtriangleup FII_{a}$ có $MK // II_{a} $ và K là trung điểm $FI_{a}$
$\Rightarrow MI=MF $
$\Rightarrow NF//IP \Rightarrow \widehat{NPI}=\widehat{IPI_{a}}=90^{\circ}$
$\Rightarrow IP \perp MI_{a} $
Xét $\bigtriangleup MSI_{a}$ có I là trực tâm nên $SI \perp MI_{a} $
Vậy S , I , P thẳng hàng (dpcm)
____________________

DXT:Chả hiểu sao lúc thi mình vẽ hình bài này tới 3 lần mà toàn sai! Chán chả buồn vẽ lại nữa nên bỏ nguyên câu hình!@#$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 28-12-2012 - 11:20


#6
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
Spam chút: Mình k kịp làm câu b hình, với cả bài 1 mình cũng bị sao ấy mà mất gần 30 phút :((. Bài tổ hợp tưởng khó hoá ra dễ, mình làm trong bài có 8 dòng. Cô Huế cứ nhìn suốt mất hết cả tâm tư làm bài:(

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#7
tson1997

tson1997

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
Thực ra thì có thể trình bày bài số dưới phương diện khác (thực chất là nhồi cả chứng minh bổ đề :D)
Dễ thấy $a_i$ không chia hết cho 47 với mọi i chạy từ 0 đến 46 (cái này mà làm vào bài là mất 3 dòng hơn :( )
Ta có :

$a_{2i-1}a_{2i} \equiv -a_{46-2i}$ $a_{47-2i}$ $(mod 47)$ với mọi i chạy từ 1 đến 23

Nhân theo vế tất cả các phương trình đồng dư,rút gọn suy ra :

$a_{46} \equiv -a_0 (mod 47) $ hay ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tson1997: 29-12-2012 - 11:40

Thi cử............




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh