Chủ đề này có 1 trả lời

[dactai10a1]

Với mỗi số nguyên dương n, gọi S(n) là tổng các chữ số của n.

35]a) Chứng minh rằng các số n = 999 và n = 2999 không thể biểu diễn được dưới dạng a + b với S(a) = S(b).

35]b) Chứng minh rằng mọi số n, 999 < n < 2999 đều biểu diễn được dưới dạng a + b với S(a) = S(b).

[nguyenta98]

Với mỗi số nguyên dương n, gọi S(n) là tổng các chữ số của n.

35]a) Chứng minh rằng các số n = 999 và n = 2999 không thể biểu diễn được dưới dạng a + b với S(a) = S(b).

35]b) Chứng minh rằng mọi số n, 999 < n < 2999 đều biểu diễn được dưới dạng a + b với S(a) = S(b).

Giải như sau:
Ta sẽ cm tổng quát bài toán
Với $S(n)=1$ thì $n=10^k$ khi ấy $n=5.10^{k-1}+5.10^{k-1}$ và $S(5.10^{k-1})=S(5.10^{k-1})$ nên có $đpcm$
Với $S(n)>1$
TH1: $S(n)$ chẵn hay số hàng lẻ của $S(n)$ là số chẵn
Khi ấy với mỗi hàng chẵn $a_i$ của $n$ ta tách ra $a_i=\frac{a_i}{2}+\frac{a_i}{2}$ $(1)$
Với mỗi hàng lẻ $a_j$ của $n$ ta tách $a_j=\frac{a_j-1}{2}+\frac{a_j+1}{2}$ khi ấy $\frac{a_j+1}{2}-\frac{a_j-1}{2}=1$
Vì số hàng lẻ của $S(n)$ là số chẵn nên ta tách ra được chẵn cặp kiểu $\frac{a_j-1}{2},\frac{a_j+1}{2}$ như trên, ta thay phiên cho $\frac{a_j-1}{2}$ vào $X$ và $\frac{a_j+1}{2}$ vào $Y$ và làm ngược lại với $a_k$, $k$ lẻ thì $\frac{a_k+1}{2}$ vào $X$ còn $\frac{a_k-1}{2}$ vào $Y$ do đó hàng lẻ là số chẵn nên ta làm được như vậy đến hết các hàng lẻ của $n$ và do $\frac{a_j-1}+\frac{a_k+1}{2}=\frac{a_j+1}{2}+\frac{a_k-1}{2}$ và $\frac{a_i}{2}=\frac{a_i}{2}$ (theo $(1)$) do đó $S(X)=S(Y)$ mà $X+Y=n$
TH2: $S(n)$ là số lẻ hay số hàng lẻ của $S(n)$ là số lẻ
Đặt $n=\overline{a_1a_2...a_k}$ và $S(n)$ lẻ
Giả sử $n$ khác dạng $\overline{x99...9}$ khi ấy trong $a_1,a_2,...,a_k$ tồn tại một số $a_i\neq 0$ và $a_{i+1}\neq 9$ $(2)$ vì ngược lại suy ra $n=\overline{a_1a_2...a_k}$ khi ấy $a_1=0,a_2=9$ vô lí với $a_1\neq 0$ còn nếu $a_1\neq 0$ và $a_2=9$ thì ta xét $\overline{a_2a_3...a_k}$ do $a_2=9$ nên $a_3=9$ vì ngược lại $a_3 \neq 9$ thì ta đã chọn được $a_i,a_{i+1}$ thỏa $(2)$ làm tương tự đến lúc cuối suy ra $a_2=a_3=...=a_k=9$ nên $n=\overline{a_1999...9}$ vô lí vì ta đang xét $n\neq \overline{x99..9}$ như vậy chắc chắn tồn tại $a_i,a_{i+1}$ sao cho $a_i\neq 0, a_{i+1}\neq 9$
Khi ấy $n=\overline{a_1a_2...a_ia_{i+1}...a_k}=\overline{a_1...(a_i-1)9a_{i+2}...a_k}+(a_{i+1}+1).10^{k-i}$ lúc này do $a_i\neq 0,a_{i+1}\neq 9$ nên $a_i-1,a_{i+1}+1$ là chữ số hết và $S(\overline{a_1...(a_i-1)9a_{i+2}...a_k}),S((a_{i+1}+1).10^{k-i})$ có cùng tính chẵn lẻ nên đặt $\overline{a_1...(a_i-1)9a_{i+2}...a_k}=x,(a_{i+1}+1).10^{k-i}=y$ khi ấy $S(x),S(y)$ cùng tính chẵn lẻ mà $x+y=n$
Lúc này ta thực hiện $\overline{a_1...(a_i-1)9a_{i+2}...(a_t-1)...a_k}$ và $(a_{i+1}+1).10^{k-i}+10^{k-t}$ với $t\neq i$ thì $S(x')=S(x)-1,S(y')=S(y)+1$ nên $S(x')-S(y')=S(x)-S(y)-2$ mà $S(x),S(y)$ cùng tính chẵn lẻ nên $S(x)-S(y)-2$ chẵn, quá trình tiếp tục đến lúc nào đó $S(x)-S(y)-2-2-2...-2=S(x)-S(y)-2k=0$ chẵn thì khi ấy do ta bớt ở $x$ $10^{k-t}$ và thêm vào $y$ số $10^{k-t}$ thì $x'+y'=n$ nên $n=x'+y'$ và $S(x')=S(y')$ nên bài toán được cm
Giờ ta xem nốt $n=\overline{a999...9}$ với $S(n)$ lẻ, khi ấy do ở mỗi hàng $a_i+b_i=\overline{..9}$ phép tính này không thể có nhớ từ hàng thấp đến cao được (do $9+9=18$ tận cùng là $8$ là tối đa nhưng khi ấy ở hàng đơn vị không xảy ra) nên $a_i+b_i=9$ là không nhớ do đó $x+y=n=\overline{a999...9}$ thì $S(x)+S(y)=S(n)$ mà $S(x)=S(y)$ nên $S(n)$ chẵn vô lí vì $S(n)$ lẻ
Vậy $n$ là số thỏa mãn tồn tại $x,y$ sao cho $n=x+y$ và $S(x)=S(y)$ thì $n\neq \overline{a999...99}$ với $S(n)$ lẻ

** Áp dụng vào bài có ngay $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 30-12-2012 - 18:52