Chủ đề này có 2 trả lời

[ablrise]

Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn $$f\left(f\left(x\right)\right)=xf\left(x\right),\forall x\in\mathbb{R}$$

[viet 1846]

Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn $$f\left(f\left(x\right)\right)=xf\left(x\right),\forall x\in\mathbb{R}$$

Dễ thấy $f(x)=0$ là nghiệm chủa phương trình.

và $f(0)=0$

khi $f(x)$ khác $0$ Chứng minh được $f$ là hàm đơn điệu tăng.

suy ra $f(x)$ khác $0$ với mọi $x$ khác $0$

ta xét dãy số: $\left\{ \begin{array}{l}
{u_0} = x\\
{u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)
\end{array} \right.$ (x khác 0)



Đặt $v_n=ln|u_n|$

ta có dãy: $\left\{ \begin{array}{l}
{v_0} = \ln |x|\\
{v_1} = \ln |f(x)|\\
{v_{n + 2}} = {v_{n + 1}} + {v_n}
\end{array} \right.$

Phương trình đặc trưng:


\[{\lambda ^2} = \lambda + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\lambda _1} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\
{\lambda _2} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.\]

hay \[{v_n} = {c_1}{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n} + {c_2}{\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^n}\]

Cho $n=1;2$ ta có:


\[\left\{ \begin{array}{l}
{c_1} + {c_2} = \ln |x|\\
\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right){c_1} + \left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right){c_2} = \ln |f\left( x \right)|
\end{array} \right.\]

Suy ra: \[\left| {f\left( x \right)} \right| = {e^{\sqrt 5 c + \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\ln \left| x \right|}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{e^{\sqrt 5 c + \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\ln x}}\,\,\,khi\,x > 0\\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 0\\
- {e^{\sqrt 5 c + \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\ln \left( { - x} \right)}}\,khi\,x < 0
\end{array} \right.\]




hoặc \[\left| {f\left( x \right)} \right| = {e^{\sqrt 5 c + \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\ln \left| x \right|}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{e^{ - \sqrt 5 c + \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\ln x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x > 0\\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 0\\
- {e^{ - \sqrt 5 c + \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\ln \left( { - x} \right)}}\,\,khi\,x < 0
\end{array} \right.\]

thử lại. được $c=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoàng Quốc việt: 12-01-2013 - 21:37

[lovesmaths]

Vì sao f(0)=0 và sao f đơn điệu tăng vậy bạn?