BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO_______________KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT ĐỀ THI CHÍNH THỨC
_____________________________________NĂM 2013_____________________________________________Môn:Toán_____________________________________________Thời gian:
180 phút(không kể thời gian giao đề)
_____________________________________________Ngày thi thứ hai:
12/01/2013Bài 5: (7,0 điểm)Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa $f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013$ và
$$\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right)$$ đúng với mọi $x,y\in \mathbb{R}$, trong đó ${{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}$
Bài 6: (7,0 điểm)Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứ điểm $A$. Đường thẳng $\vartriangle $ thay đổi đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác $ABH, ACH$ tại $M,N$ ($M,N$ khác $H$)
a)Xác định vị trí của đường thẳng $\vartriangle $ để diện tích tam giác $AMN$ lớn nhất
b)Kí hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc $DB, d_2$ là đường thẳng qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1$ và $d_2$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định
Bài 7: (6,0 điểm) Tìm số các bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa
\[\left\{ \begin{array}{l}
ab + a'b' \equiv 1(\bmod 15)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
ac + a'c' \equiv 1(\bmod 15)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\
bc + b'c' \equiv 1(\bmod 15)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)
\end{array} \right.\]
Với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1...14 \right\}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 12-01-2013 - 13:58