Chủ đề này có 5 trả lời

[vo van duc]

Trong không gian $M_{2}(\mathbb{R})$, cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

Tính hạng của hệ véc tơ $B=\left \{ A,A^{2},A^{3},...,A^{2012} \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 11-01-2013 - 21:10

[cuong148]

Trong không gian $M_{2}(\mathbb{R})$, cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

Tính hạng của hệ véc tơ $B=\left \{ A,A^{2},A^{3},...,A^{2012} \right \}$

Bài này có phải anh lấy ý tưởng từ bài 2.9 trang 98-Sách ĐSTT của Ng Doãn Tuấn không ạ.@@.Em thắc mắc là sao $A^{2013}$ không bằng 0.@@
Mà bài 2.9 này cũng chưa có lời giải.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 01-02-2013 - 19:54

[cuong148]

Trong không gian $M_{2}(\mathbb{R})$, cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

Tính hạng của hệ véc tơ $B=\left \{ A,A^{2},A^{3},...,A^{2012} \right \}$

Nhận xét $rank(B)=rank(PAP^{-1},PA^{2}P^{-1},....,PA^{2012}P^{-1})$(Chứng minh với bổ đề 2 cái thấy cái này khá hiển nhiên)
A có 2 giá trị riêng là 2 và 3
Vậy rank(B)=2012.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 02-02-2013 - 21:31

[vo van duc]

Chưa hiểu cơ sở kết luận của Cường.
....................

Sau một thời gian nghiên cứu cái gợi ý không quá 10 từ, cuối cùng cũng ra được lời giải. Mọi người kiểm tra giúp mình với nha! hi

Theo định lý Caley - Haminton thì ta có

$A^{2}-5A+6I_{2}=O$ $(*)$

Suy ra $\alpha A^{2}+\beta A=O\Leftrightarrow \alpha =\beta =0$

Tức là tập $\left \{ {A^{2}, A} \right \}$ độc lập tuyến tính.

Cũng từ $(*)$ ta có $\left \{ A^{3},A^{2},A \right \}$ phụ thuộc tuyến tính

Suy ra tập $\left \{ A^{2},A \right \}$ là tập độc lập tuyến tính tối đại của $B$

Vậy $rank(B)=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 03-02-2013 - 13:38

[phudinhgioihan]

Theo định lý Caley - Haminton thì ta có

$A^{2}-5A+6I_{2}=O$ $(*)$

Vậy $rank(B)=2$

Em múa rìu tí.

Gọi $P$ là đa thức tối tiểu của $A$. Giả sử : $P(x)=a_0+a_1x+...+a_rx^r \;, a_r \neq 0$

Suy ra $$a_0I+a_1A+...+a_rA^r=0$$
$$\Rightarrow a_0A+a_1A^2+...+a_rA^{r+1}=0$$

Suy ra họ $(A,A^2,...,A^{r+1}) $ phụ thuộc tuyến tính, do đó

$$rank\{A,A^2,...,A^n\} \le \deg\; P \;\;, n \ge \deg \; P$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 03-02-2013 - 12:52

[cuong148]

Em định chéo hóa nó lên thành vecto có dạng
2 0 2^2 0
0 3 0 3^2 ....
sau đó lập tổ hợp tuyến tính của nó rồi đưa về hệ phương trình.Chắc em tính sai rank của hệ này..