Chủ đề này có 4 trả lời

[vo van duc]

Giả sử A là ma trận vuông thực cấp n khả nghịch, cho biết trong mỗi dòng của A có đúng một số khác 0 và bằng $\pm 1$. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k để $A^{k}=A^{T}$

[cuong148]

Giả sử A là ma trận vuông thực cấp n khả nghịch, cho biết trong mỗi dòng của A có đúng một số khác 0 và bằng $\pm 1$. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k để $A^{k}=A^{T}$

ANh Đức gợi ý qua cho bọn em đi.Không có 1 chút ý tưởng nào.

[HeilHitler]

Giả sử A là ma trận vuông thực cấp n khả nghịch, cho biết trong mỗi dòng của A có đúng một số khác 0 và bằng $\pm 1$. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k để $A^{k}=A^{T}$

Thím xem lại cái đề đi, chọn $A$ là ma trận có toàn bộ các phần tử trên cột 1 đều bằng 1, còn lại thì bằng 0 hết. Thay trực tiếp sẽ thấy đề bài bị sai.

[vo van duc]

Thím xem lại cái đề đi, chọn $A$ là ma trận có toàn bộ các phần tử trên cột 1 đều bằng 1, còn lại thì bằng 0 hết. Thay trực tiếp sẽ thấy đề bài bị sai.

Nếu chọn ma trận A như vậy đâu thỏa giả thuyết A khả nghịch.

..................................
Tất cả các đề bài tôi đưa lên đều có nguồn rõ ràng. Không chế, không lấy trên các trang web, các diễn đàn khác mà đưa lên đâu. hi

@cuong148: Đâu phải bài nào cũng biết làm đâu em. Có bài chưa có ý tưởng đăng lên để tìm ý tưởng, có bài đã có ý tưởng cũng đăng lên để tìm ý tưởng mới, có bài hay quá đăng lên cho anh em tham khảo. Em cũng đăng thêm bài tập đi. ĐH SP HN là trường có nội lực mạnh. Có nhiều cái thú vị lắm. hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 04-02-2013 - 04:55

[GreatLuke]

Bài này lâu rồi mà không thấy ai giải nhỉ.

Xét trường hợp ma trận A chỉ gồm các số $0$ và $1$ cho đơn giản.

Giả sử tồn tại một cột của ma trận $A$ có ít nhất 2 số khác $0$. Khi đó sẽ $\exists$ ít nhất 1 cột của $A$ gồm toàn số $0$. Vậy $A$ không khả nghịch, trái với giả thiết.

Vậy mỗi dòng và mỗi cột của $A$ chỉ gồm duy nhất 1 số khác $0$.

Gọi ánh xạ tuyến tính của ma trận $A$ trong cơ sở chính tắc $B=${$e_{1},e_{2},...e_{n}$} là $f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$, ánh xạ tuyến tính của ma trận $A^{T}$ trong cơ sở chính tắc $B$ là $g$.

Giả sử phần tử khác $0$ ở cột thứ $i$ nằm ở dòng thứ $k_{i}$, thì $f(e_{1})=e_{k_{1}}, f(e_{2})=e_{k_{2}},..,f(e_{n})=e_{k_{n}}$ và $g(e_{k_{1}})=e_{1},g(e_{k_{2}})=e_{2},..,g(e_{k_{n}})=e_{n}$.

Ví dụ $A=\begin{pmatrix} 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0 \end{pmatrix}$ thì $f(e_{1})=e_{3},f(e_{2})=e_{1},f(e_{3})=e_{2}$.

$A^{T}=\begin{pmatrix} 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0 \end{pmatrix}$;$g(e_{3})=e_{1},g(e_{1})=e_{2},g(e_{2})=e_{3}$.

Vì $g(f(e_{i}))=g(e_{k_{i}})=e_{i} \forall i$ nên $g\circ f=Id_{E}\Rightarrow AA^{T}=I_{n}$. Vậy chỉ cần chỉ ra số $m$ sao cho $A^{m}=I$ thì $k=m-1$ và $A^{k}=A^{T}$.