$\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha & \\ sin\alpha & cos\alpha & \end{pmatrix} ^{n}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-01-2013 - 10:05
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-01-2013 - 10:05
Ta thử $\begin{bmatrix} \cos a &-\sin a \\\sin a &\cos a \end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix} \cos a &-\sin a \\\sin a &\cos a \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} \cos a &-\sin a \\\sin a &\cos a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos 2a & -\sin 2a\\\sin 2a & \cos 2a \end{bmatrix}$
Tương tự $\begin{bmatrix} \cos a &-\sin a \\\sin a &\cos a \end{bmatrix}^3=\begin{bmatrix} \cos 3a &-\sin 3a \\\sin 3a &\cos 3a \end{bmatrix}$
Nên dự đoán như trên.
Chứng minh bằng quy nạp.
Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$, tức là $\begin{bmatrix} \cos a &-\sin a \\\sin a &\cos a \end{bmatrix}^k=\begin{bmatrix} \cos ka & -\sin ka\\\sin ka & \cos ka \end{bmatrix}$
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n=k+1$, tức là phải chứng minh
$\begin{bmatrix} \cos a &-\sin a \\\sin a &\cos a \end{bmatrix}^{k+1}=\begin{bmatrix} \cos (k+1)a &-\sin (k+1)a \\\sin (k+1)a & \cos (k+1)a \end{bmatrix}$
Ta có $\begin{bmatrix} \cos a &-\sin a \\\sin a &\cos a \end{bmatrix}^{k+1}=\begin{bmatrix} \cos ka &-\sin ka \\\sin ka &\cos ka \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} \cos a &-\sin a \\\sin a &\cos a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos (k+1)a &-\sin (k+1)a \\\sin (k+1)a & \cos (k+1)a \end{bmatrix}$
Vậy ta có đpcm
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh