Chủ đề này có 1 trả lời

[chuyentoan]

Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ thỏa mãn: với $k=1,2,...,9$ thì chữ số đầu tiên (tính từ trái sang) của $(n+k)!$ bằng $k$ (ở đây ta biểu diễn các số trong hệ thập phân)

[chanhquocnghiem]

Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ thỏa mãn: với $k=1,2,...,9$ thì chữ số đầu tiên (tính từ trái sang) của $(n+k)!$ bằng $k$ (ở đây ta biểu diễn các số trong hệ thập phân)

Giả sử tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn ĐK đề bài.

Dễ thấy rằng số $n$ đó chắc chắn lớn hơn $10$ 

$\Rightarrow 1<\frac{(n+8).(n+9)}{(n+2).(n+3)}< \frac{(10+8).(10+9)}{(10+2).(10+3)}=\frac{57}{26}$ (1)

Gọi $m_{k}$ là số chữ số của số $(n+k)!$

Số $(n+1)!$ bắt đầu bằng chữ số $1$ (2)

Số $(n+3)!$ bắt đầu bằng chữ số $3$ (3)

(2),(3) $\Rightarrow (n+2)(n+3)=\frac{(n+3)!}{(n+1)!}> \frac{3.10^{m_{3}-1}}{2.10^{m_{1}-1}}=1,5.10^{m_{3}-m_{1}}$ 

Và $(n+2)(n+3)=\frac{(n+3)!}{(n+1)!}< \frac{4.10^{m_{3}-1}}{1.10^{m_{1}-1}}=4.10^{m_{3}-m_{1}}$

Vậy $1,5.10^{m_{3}-m_{1}}<(n+2)(n+3)<4.10^{m_{3}-m_{1}}$ (4)

(1),(4) $\Rightarrow 1,5.10^{m_{3}-m_{1}}<(n+8)(n+9)<\frac{114}{13}.10^{m_{3}-m_{1}}$ (5)

(5) $\Rightarrow (n+9)!=(n+7)!.(n+8).(n+9)$ bắt đầu bằng chữ số từ $1$ đến $7$ (mâu thuẫn với điều giả sử ở trên)

(vì $7.1,5=10,5$ và $8.\frac{114}{13}\approx 70,1538$)

Điều đó chứng tỏ điều giả sử trên là sai $\Rightarrow$ không có số nguyên dương $n$ nào thỏa mãn ĐK đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 13-10-2014 - 14:59