Bài toán 2.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $ab+bc+ca=3$, Chứng minh rằng:
\[\sqrt{a^2+b^2+7bc}+\sqrt{b^2+c^2+7ca}+\sqrt{c^2+a^2+7ab}\ge 9.\]
Chém liều:
Không mất tính tổng quát, giả sử $ c=\min \{a,b,c\}$
Khi đó $0 \leq c \leq 1$
Đặt $$g(a,b,c)=\sqrt{a^2+b^2+7bc}+\sqrt{b^2+c^2+7ca}+\sqrt{c^2+a^2+7ab}$$
Xét hàm số $$f( c )=\sqrt{a^2+b^2+7bc}+\sqrt{b^2+c^2+7ca}+\sqrt{c^2+a^2+7ab}$$
$$f''( c )=-\dfrac{45}{4} \dfrac{\sqrt{(a^2+c^2+7ac)^3}b^2+\sqrt{(b^2+c^2+7bc)^3}a^2}{\sqrt{(a^2+c^2+7ac)^3}\sqrt{(b^2+c^2+7bc)^3}}<0$$
Suy ra $g(a,b,c) \geq \min \{ g(a,b,0),(a,b,1)\}$
Tức là $g(a,b,c)$ chỉ sảy ra $\min$ trong trường hợp $c=0$ hoặc $c=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(*)$.
Nếu $c=0$ thì $ab=3$
Ta có $$g(a,b,0)=\sqrt{(a+b)^2+15}+a+b \geq 5\sqrt{3}$$
Nếu $c=1$ thì do $c=\min \{a,b,c\}$ nên $a,b \geq 1$, suy ra $a=b=c=1$
Suy ra $$\sqrt{a^2+b^2+7bc}+\sqrt{b^2+c^2+7ca}+\sqrt{c^2+a^2+7ab}\ge 9$$
_______________________________
Tóm lại $$\sqrt{a^2+b^2+7bc}+\sqrt{b^2+c^2+7ca}+\sqrt{c^2+a^2+7ab}\ge 5\sqrt{3}$$
__________
P/s: Tớ chưa bao giờ làm bài dạng này nên làm linh tinh.
$(*)$ là do: $f(c)$ là hàm lõm nên $f(c)_{\min}=\min\{f(0),f(1)\}$. (Sáng tạo BĐT)
