Cho a,b,c dương thoả mãn:$abc= \frac{9}{4}$ CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}> a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$
Bắt đầu bởi thuynguyenly, 23-01-2013 - 16:09
#1
Đã gửi 23-01-2013 - 16:09
Bài 1:Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c=3
Tìm GTNN của
$P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$
Bài 2:Cho a ,b,c là các số dương thoả mãn :a+b+c=3
CMR: $\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$
Bài 3:Cho a,b,c dương thoả mãn:$abc= \frac{9}{4}$
CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}> a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$
Tìm GTNN của
$P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$
Bài 2:Cho a ,b,c là các số dương thoả mãn :a+b+c=3
CMR: $\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$
Bài 3:Cho a,b,c dương thoả mãn:$abc= \frac{9}{4}$
CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}> a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$
______Thuynguyenly______
#2
Đã gửi 23-01-2013 - 16:24
Bài 1 là dạng giống Đề thi tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán trường THPT Lê Hồng Phong TPHCM. Có thể tìm xem. Ý tưởng: CHứng minh: $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$ RỒi đặt $x=a^2+b^2+c^2$ áp dụng $AM-GM$ kết hợp điểm rơi.Bài 2:Cho a ,b,c là các số dương thoả mãn :a+b+c=3
CMR: $\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$
Còn bài này là Cauchy ngược dấu: $\frac{a}{b^2+1}=\frac{a(b^2+1)-ab^2}{b^2+1} =a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$ Thiết lập tương tự xong cộng lại với chú ý: $ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$
- tri2308 yêu thích
TRIETHUYNHMATH
___________________________
08/12/1997
#3
Đã gửi 23-01-2013 - 18:27
Bài 2: Kĩ thuật Co-si ngược dấuBài 1:Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c=3
Tìm GTNN của
$P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$
Bài 2:Cho a ,b,c là các số dương thoả mãn :a+b+c=3
CMR: $\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$
Bài 3:Cho a,b,c dương thoả mãn:$abc= \frac{9}{4}$
CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}> a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$
Đặt $S=\sum \frac{a}{b^2+1}=\frac{a(b^2+1)-ab^2}{b^2+1}+\frac{b(c^2+1)-bc^2}{c^2+1}+\frac{c(a^2+1)-ca^2}{a^2+1}=a+b+c-\left ( \frac{ab^2}{b^2+1} +\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right )=3-H$
Ta có $S\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow H\leq \frac{3}{2}$
Ta lại có $b^2+1\geq 2b\Rightarrow \frac{ab^2}{b^2+1}\leq \frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}$
Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng lại ta được $H\leq \frac{ab+bc+ac}{2}\leq \frac{(a+b+c)^2}{6}=\frac{3}{2}$
Vậy ta có đpcm ?
#4
Đã gửi 23-01-2013 - 18:31
Bài 3 : Áp dụng bđt Schwarzt ta có
$(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b})^2\leq (a^2+b^2+c^2)(b+c+a+c+a+b)=2(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\leq 6(a^3+b^3+c^3)$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $(a^3+b^3+c^3)^2\geq 6(a^3+b^3+c^3)\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq 6$
Theo đề bài ta lại có $a^3+b^3+c^3\geq 3abc=\frac{27}{4}> 6$
Suy ra đpcm ?
$(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b})^2\leq (a^2+b^2+c^2)(b+c+a+c+a+b)=2(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\leq 6(a^3+b^3+c^3)$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $(a^3+b^3+c^3)^2\geq 6(a^3+b^3+c^3)\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq 6$
Theo đề bài ta lại có $a^3+b^3+c^3\geq 3abc=\frac{27}{4}> 6$
Suy ra đpcm ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 23-01-2013 - 19:49
- thuynguyenly và chatditvit thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh