Chủ đề này có 7 trả lời

[letrongvan]

Bài 1: Giả sử X là một ma trận vuông cấp n khả nghịch, có các cột lần lượt là $X_{1}, X_{2},..,X_{n}$, và Y là ma trận với các cột $X_{2}, X_{3},..,X_{n},0$. Đặt $A=Y.X^{-1}$, $B=X^{-1}.Y$

a) Chứng minh rằng $r(A)=r(B)=n-1$.

b) Chứng minh A, B chỉ có trị riêng là 0

Bài 2: Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n, giả sử tồn tại $(n+1)$ số thực $ t_{1}, t_{2},...,t_{n+1}$ sao cho $ C_{i}= A+t_{i}.B$ là lũy linh. Chứng minh A, B lũy linh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 27-01-2013 - 14:51

[1110004]

do $C_i $ lũy linh nên $(C_i)^n=0$ voi mọi i.

xét $P(x)=(A+xB)^n =A^n+Vx+...+Ux^{n-1} x^nB^n$ là đa thức bậc n nhưng có n+1 nghiệm là các $t_i$ suy ra $A^n=B^n=0$ suy ra dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 27-01-2013 - 14:56

[letrongvan]

bạn có thể nói rõ hơn không?
nếu coi x là ẩn, khi đó P(x) sẽ có n+1 nghiệm vậy thì n+1 giá trị x này đồng nhất bằng không suy ra $A_{n}=0$, hoặc x khác không thì cái đó mình không hiểu, thầy bảo chia x xuống dưới nhưng sau đó mình bó tay

[1110004]

xem x là ẩn, P(x) là hàm bậc n mà có n+1 nghiệm nên P(x)=0 với mọi x điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi các hệ số(ở đây là các ma trận) đều bằng không hay Aⁿ=Bⁿ=0 (dpcm)

[letrongvan]

xem x là ẩn, P(x) là hàm bậc n mà có n+1 nghiệm nên P(x)=0 với mọi x điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi các hệ số(ở đây là các ma trận) đều bằng không hay Aⁿ=Bⁿ=0 (dpcm)

tức là A, B là ma trận không??

[vo van duc]

$A^{n}=B^{n}=O$ đâu có nghĩa là A, B là ma trận không đâu em.

.........................
Về quê rồi. Online bằng di động thôi ah. Nếu không anh sẽ post bài giải chi tiết cho. Khỏi gây hiểu lầm này nọ. hi

[letrongvan]

$A^{n}=B^{n}=O$ đâu có nghĩa là A, B là ma trận không đâu em.

.........................
Về quê rồi. Online bằng di động thôi ah. Nếu không anh sẽ post bài giải chi tiết cho. Khỏi gây hiểu lầm này nọ. hi

nhưng bạn nói vậy anh. em biết nó không bằng không, nhưng bạn bảo là hệ số bằng không mà, hệ số hay ma trận như nhau trong trường hợp này mà anh

[vo van duc]

Xin chia sẻ đáp án của ĐH SP Huế năm 2011.
................................
Ta có

$(A+xB)^{n}=A^{n}+xD_{1}+x^{2}D_{2}+...+x^{n-1}D_{n-1}+x^{n}B^{n}$

trong đó $D_{1},D_{2},...,D_{n-1}$ là các ma trận không phụ thuộc vào x.

Với mọi $i,j=1,2,...,n$, giả sử $a,d_{1},d_{2},...,d_{n-1},b$ là phần tử ở hàng i, cột j tương ứng của các ma trận $A^{n},D_{1},D_{2},...,D_{n-1},B^{n}$.

Xét đa thức $p(x)=a+d_{1}x+d_{2}x^{2}+...+d_{n-1}x^{n-1}+bx^{n}$

có ít nhất $n+1$ nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},...,x_{n+1}$.

Do đó $p(x)=0$ hay các hệ số $a=d_{1}=...=d_{n-1}=b=0$

Suy ra $A^{n}=B^{n}=O$ Tức là $A, B$ lũy linh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 29-01-2013 - 15:02