$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^{2}=-3\\ \sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}+6y=24 \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienghe0601: 27-01-2013 - 22:09
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^{2}=-3\\ ... \end{matrix}\right.$
Bắt đầu bởi tienghe0601, 27-01-2013 - 22:08
#1
Đã gửi 27-01-2013 - 22:08
tienghe0601
-
- Thành viên
-
- 7 Bài viết
Lính mới
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^{2}=-3\\ \sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}+6y=24 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^{2}=-3\\ \sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}+6y=24 \end{matrix}\right.$
- donghaidhtt yêu thích
#2
Đã gửi 27-01-2013 - 22:38
dorabesu
-
- Thành viên
-
- 167 Bài viết
Trung sĩ
( đk : $0\leq x\leq 32$ )
Cộng cả 2 pt lại, tách thành pt sau :
$(\sqrt{x}-4)+(\sqrt[4]{32-x}-2)+(\sqrt[4]{x}-2)+(\sqrt{32-x}-4)=(y^2-6y+9)$
$\leftrightarrow \frac{x-16}{\sqrt{x}+4}+\frac{16-x}{(\sqrt{32-x}+4)(\sqrt[4]{32-x}+2)}+\frac{x-16}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt[4]{x}+2)}+\frac{16-x}{\sqrt{32-x}+4}=(y-3)^2$
$\leftrightarrow (x-16)(\frac{1}{\sqrt{x}+4}-\frac{1}{(\sqrt{32-x}+4)(\sqrt[4]{32-x}+2)}+\frac{1}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt[4]{x}+2)}-\frac{1}{\sqrt{32-x}+4})=(y-3)^2$ (**)
* Xét trường hợp $16\leq x\leq 32$
$\Rightarrow x-16\geq 0$ và $x\geq 32-x (1)$
Từ (1) $\Rightarrow \sqrt{x}\geq \sqrt{32-x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+4}\leq \frac{1}{\sqrt{32-x}+4}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+4}-\frac{1}{\sqrt{32-x}+4}\leq 0$
Tương tự ta được $\frac{1}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt[4]{x}+2)}-\frac{1}{(\sqrt{32-x}+4)(\sqrt[4]{32-x}+2)}\leq 0$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+4}-\frac{1}{(\sqrt{32-x}+4)(\sqrt[4]{32-x}+2)}+\frac{1}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt[4]{x}+2)}-\frac{1}{\sqrt{32-x}+4}\leq 0$
Như vậy, vế trái của (**) $\leq 0$ mà vế phải là $(y-3)^2\geq 0$
$\Rightarrow$ cả 2 vế bằng 0 $\Rightarrow x=16;y=3$
* Xét trường hợp $0\leq x\leq 16$
Tương tự như trường hợp trên, ta sẽ xét $VT\leq 0$ mà $VP\geq 0$ ...
Tóm lại, phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)=(16;3)$
Cộng cả 2 pt lại, tách thành pt sau :
$(\sqrt{x}-4)+(\sqrt[4]{32-x}-2)+(\sqrt[4]{x}-2)+(\sqrt{32-x}-4)=(y^2-6y+9)$
$\leftrightarrow \frac{x-16}{\sqrt{x}+4}+\frac{16-x}{(\sqrt{32-x}+4)(\sqrt[4]{32-x}+2)}+\frac{x-16}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt[4]{x}+2)}+\frac{16-x}{\sqrt{32-x}+4}=(y-3)^2$
$\leftrightarrow (x-16)(\frac{1}{\sqrt{x}+4}-\frac{1}{(\sqrt{32-x}+4)(\sqrt[4]{32-x}+2)}+\frac{1}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt[4]{x}+2)}-\frac{1}{\sqrt{32-x}+4})=(y-3)^2$ (**)
* Xét trường hợp $16\leq x\leq 32$
$\Rightarrow x-16\geq 0$ và $x\geq 32-x (1)$
Từ (1) $\Rightarrow \sqrt{x}\geq \sqrt{32-x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+4}\leq \frac{1}{\sqrt{32-x}+4}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+4}-\frac{1}{\sqrt{32-x}+4}\leq 0$
Tương tự ta được $\frac{1}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt[4]{x}+2)}-\frac{1}{(\sqrt{32-x}+4)(\sqrt[4]{32-x}+2)}\leq 0$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+4}-\frac{1}{(\sqrt{32-x}+4)(\sqrt[4]{32-x}+2)}+\frac{1}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt[4]{x}+2)}-\frac{1}{\sqrt{32-x}+4}\leq 0$
Như vậy, vế trái của (**) $\leq 0$ mà vế phải là $(y-3)^2\geq 0$
$\Rightarrow$ cả 2 vế bằng 0 $\Rightarrow x=16;y=3$
* Xét trường hợp $0\leq x\leq 16$
Tương tự như trường hợp trên, ta sẽ xét $VT\leq 0$ mà $VP\geq 0$ ...
Tóm lại, phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)=(16;3)$
- donghaidhtt và Mrnhan thích
#3
Đã gửi 27-01-2013 - 23:08
Gioi han
-
- Thành viên
-
- 384 Bài viết
Sĩ quan
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^{2}=-3\\ \sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}+6y=24 \end{matrix}\right.$
Cộng từng vế của 2 pt ta có:
$\sqrt x+\sqrt{32-x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{32-x}=y^2-6y+21$
Theo BĐT $\text{Bunhiacopxki}$ ta có
$\sqrt x+\sqrt{32-x} \leq \sqrt{2(x+32-x)}=8$
$\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{32-x} \leq \sqrt{2(\sqrt{x}+\sqrt{32-x})} \leq 4$
$y^2-6y+21 =(y-3)^2 + 12 \geq 12$
$\Rightarrow y=3,x=16$.
- donghaidhtt, Mrnhan và provotinhvip thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
