Chủ đề này có 3 trả lời

[anhxuanfarastar]

Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho vơi $a,b,c\geq 0$ thì $\sum \sqrt{\frac{a^3}{ka^2+(b+c)^2}}\leq \sqrt{\frac{3(a+b+c)}{k+4}}$

[maitienluat]

Đặt gạch phát
Cho $a=b,c=0$ dễ dàng suy ra được $k\geq 5$
Ta sẽ c/minh BĐT với $k= 5$, tức là
$$\sum \sqrt{\frac{a^{3}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}}\leq \sqrt{\frac{a+b+c}{3}}$$
Theo BĐT Cauchy-Schwarz thì
$$\left ( \sum \sqrt{\frac{a^{3}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}} \right )^{2}\leq \left [ \sum \frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}} \right ]\left ( \sum a \right )$$
Và do đó ta chỉ cần c/minh
$$\sum \frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}} \leq \frac{1}{3}$$
BĐT này bạn có thể xem trong tập BĐT hiện đại của anh Cẩn, trang 134 ( trên mạng có ).
C/minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$. Với $k=5$ thì đẳng thức còn xảy ra khi $a=b,c=0$ và các hoán vị.
@Primary: 2 vế của BĐT là đồng bậc mà bạn. Việc chuẩn hoá cũng k cần thiết, đã fix @@.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 01-02-2013 - 11:45

[Primary]

Đặt gạch phát
Cho $a=b,c=0$ dễ dàng suy ra được $k\geq 5$
Ta sẽ c/minh BĐT với $k= 5$. Chuẩn hoá cho $a+b+c=3$ thì BĐT tương đương với
$$\sum \sqrt{\frac{a^{3}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}}\leq 1$$
Theo BĐT Cauchy-Schwarz thì
$$\left ( \sum \sqrt{\frac{a^{3}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}} \right )^{2}\leq \left [ \sum \frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}} \right ]\left ( \sum a \right )=3\left [ \sum \frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}} \right ]$$
Và do đó ta chỉ cần c/minh
$$\sum \frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}} \leq \frac{1}{3}$$
BĐT này bạn có thể xem trong tập BĐT hiện đại của anh Cẩn, trang 134 ( trên mạng có ).
C/minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$. Với $k=5$ thì đẳng thức còn xảy ra khi $a=b,c=0$ và các hoán vị.

Việc chuẩn hóa BĐT chỉ thực hiện được khi các đại lượng là đồng bậc

[anhxuanfarastar]

Đặt gạch phát
Cho $a=b,c=0$ dễ dàng suy ra được $k\geq 5$
Ta sẽ c/minh BĐT với $k= 5$, tức là
$$\sum \sqrt{\frac{a^{3}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}}\leq \sqrt{\frac{a+b+c}{3}}$$
Theo BĐT Cauchy-Schwarz thì
$$\left ( \sum \sqrt{\frac{a^{3}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}} \right )^{2}\leq \left [ \sum \frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}} \right ]\left ( \sum a \right )$$
Và do đó ta chỉ cần c/minh
$$\sum \frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}} \leq \frac{1}{3}$$
BĐT này bạn có thể xem trong tập BĐT hiện đại của anh Cẩn, trang 134 ( trên mạng có ).
C/minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$. Với $k=5$ thì đẳng thức còn xảy ra khi $a=b,c=0$ và các hoán vị.
@Primary: 2 vế của BĐT là đồng bậc mà bạn. Việc chuẩn hoá cũng k cần thiết, đã fix @@.

Bài này khá dài đây . Giải như sau:
Cho $a=b=1$, $c=0$ suy ra $k\geq 5$. Ta cần chứng minh điều sau đây $\sum \sqrt{\frac{a^3}{5a^2+(b+c)^2}}\leq \sqrt{\frac{a+b+c}{3}}$
Theo bdt Cauchy Schwarz ta có $(\sum \sqrt{\frac{a^3}{5a^2+(b+c)^2}})^{2}\leq (\sum a)(\sum \frac{a^2}{5a^2+(b+c)^2})$
Ta cần chứng minh $(\sum \frac{a^2}{5a^2+(b+c)^2})\leq \frac{1}{3}$
Không mất tính tổng quát ta giả sử $a+b+c=1$, $a\geq b\geq c\Rightarrow a\geq \frac{1}{3}\geq c$
Bất đẳng thức trở thành $\sum \frac{a^2}{6a^2-2a+1}\leq \frac{1}{3}$
Xét 2TH
TH1: Nếu $c\geq \frac{1}{8}$, ta có
$9-\sum \frac{27a^2}{6a^2-2a+1}=\sum (12a-1-\frac{27a^2}{6a^2-2a+1})=\sum \frac{(3a-1)^2(8a-1)}{6a^2-2a+1}\geq 0$
TH2: Nếu $c\leq \frac{1}{8}$, ta có:
$6(VT-VP)=\frac{2a-1}{6a^2-2a+1}+\frac{2b-1}{6b^2-2b+1}+\frac{6c^2}{6c^2-2c+1}
=\frac{a-b-c}{6a^2-2a+1}+\frac{b-c-a}{6b^2-2b+1}+\frac{6c^2}{6c^2-2c+1}
=\frac{2(a-b)^2(3c-2)}{(6a^2-2a+1)(6b^2-2b+1)}+c(\frac{6c}{6c^2-2c+1}-\frac{1}{6a^2-2a+1}-\frac{1}{6b^2-2b+1})$
Ta cần chứng minh $\frac{1}{6a^2-2a+1}-\frac{1}{6b^2-2b+1}\geq \frac{6c}{6c^2-2c+1}$
Do $c\leq \frac{1}{8}\Rightarrow \frac{6c}{6c^2-2c+1}\leq 1$
Suy ra cần chứng minh $\frac{1}{6a^2-2a+1}-\frac{1}{6b^2-2b+1}\geq1$
TH2.1: Nếu $b\leq \frac{1}{3}$ thì $\frac{1}{6b^2-2b+1}\geq1$
TH2.2: Nếu $b\geq \frac{1}{3}$. Sử dụng Cauchy Schwarz ta cần chứng minh $4\geq 6(a^2+b^2)-2(a+b)+2$ hay $(2(a+b)+c)(a+b+c)\geq3(a^2+b^2)$
Do $b\geq \frac{1}{3}$, nên $3b\geq a$,$\Rightarrow (2(a+b)+c)(a+b+c)\geq 2(a+b)^2=3(a^2+b^2)+4ab-a^2-b^2
\geq 3(a^2+b^2)+3ab-a^2\geq 3(a^2+b^2)$
Bất đẳng thức được chứng minh xong. Chắc là OK rồi . Vậy $k_{min}=5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhxuanfarastar: 01-02-2013 - 18:48