Chủ đề này có 8 trả lời

[vo van duc]

Cho $A,B \in M_{2010}(\mathbb{R})$ giao hoán và $A^{2010}=B^{2010}=I$. Chứng minh rằng:

Nếu $Tr(AB)=2010$thì $Tr(A)=Tr(B)$


..............
Hôm nay 18/3/2013 đã sửa nội dung vì ngày xưa viết thiếu giả thiết giao hoán. Xin lỗi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-03-2013 - 07:18

[GreatLuke]

Đã có ý tưởng để làm bài này. Nhưng phải sử dụng đến tính chất chéo hóa của ma trận trong trường số phức.

Đang thử tìm 1 cách khác hay hơn

[cuong148]

Đã có ý tưởng để làm bài này. Nhưng phải sử dụng đến tính chất chéo hóa của ma trận trong trường số phức.

Đang thử tìm 1 cách khác hay hơn

Lúc đầu mình cũng nghĩ vậy nhưng đây là só thực mà???

[GreatLuke]

Lúc đầu mình cũng nghĩ vậy nhưng đây là só thực mà???

$a_{i,j}$ và $b_{i,j}$ là số thực nhưng ma trận chéo của $A,B$ có thể là ma trận phức. Sở dĩ như vậy vì $A^{2010}=B^{2010}=I$ nên các giá trị riêng của $A,B$ là căn bậc 2010 của 1.

[YeuEm Zayta]

A Đức có hướng giải chưa ,chỉ e vs,bài này lâu rồi,chưa giải được

[phudinhgioihan]

Cho $A,B \in M_{2010}(\mathbb{R})$ giao hoán và $A^{2010}=B^{2010}=I$. Chứng minh rằng:

Nếu $Tr(AB)=2010$thì $Tr(A)=Tr(B)$


..............
Hôm nay 18/3/2013 đã sửa nội dung vì ngày xưa viết thiếu giả thiết giao hoán. Xin lỗi!

 

 

A Đức có hướng giải chưa ,chỉ e vs,bài này lâu rồi,chưa giải được

 

Từ giả thiết dễ có $(AB)^{2010}=I$ suy ra $sp(AB) \subset \{ e^{\frac{ki\pi}{2010}}, k=0;1;...;2009 \}$

 

Gọi $\lambda_i \;, i=1;2;...;2010$ là các trị riêng của $AB$.

 

Từ trên, $|\lambda_i|=1$ nên $Re(\lambda_i) \le 1 $ , dấu bằng chỉ xảy ra khi $ \lambda_i=1 $.

Lại có $Tr(AB)=2010=\sum_{i=1}^{2010} \lambda_i$ , suy ra $\lambda_i=1 \; \forall 1 \le i \le 2010 $.

 

Từ $(AB)^{2010}=I \Leftrightarrow (AB-I)\sum_{k=0}^{2009} (AB)^k =0$

 

$\sum_{k=0}^{2009} (AB)^k$ không có trị riêng 0 nên khả nghịch, do đó phải có $AB=I$ hay $B=A^{-1}$

 

Do $A^{2010}=I$ nên $sp(A)=\{1,...,1,-1,...,-1,t_1,\bar{t_1},...,t_k,\bar{t_k} \} $ với $|t_i|=1 \;\; , 1 \le t_i \le k$

 

Vì $\bar{t_i}=\dfrac{1}{t_i} \;, 1 \le t \le k$ nên $sp(A)=sp(B)$ và hiển nhiên ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 18-04-2013 - 19:35

[YeuEm Zayta]

$Re(\lambda_i)$ là jì và tại sao a có thể kl là:$\sum_{k=0}^{2009}(AB)^{k}$ chỉ có gtr là 2010 hả a

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 18-04-2013 - 19:29

[YeuEm Zayta]

Cơ mà cái $|t_i|$ là mô đum phải ko a.a viết thế mn lại hiểu nhầm

[phudinhgioihan]

$Re(\lambda_i)$ là jì và tại sao a có thể kl là:$\sum_{k=0}^{2009}(AB)^{k}$ chỉ có gtr là 2010 hả a

 

 

Cơ mà cái $|t_i|$ là mô đum phải ko a.a viết thế mn lại hiểu nhầm

 

$Re(z)$ là phần thực của số phức $z$. "$\sum_{k=0}^{2009}(AB)^{k}$ chỉ có gtr là 2010" chỗ này anh nhầm , đã sửa rồi ^^. Cái $|t_i|$ là modul, hiển nhiên rồi không nhầm được đâu mà, với số thực thì gọi là giá trị tuyệt đối còn số phức thì modul.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 18-04-2013 - 19:40