Chủ đề này có 7 trả lời

[vo van duc]

Cho $A,B,C$ là các ma trận vuông thực cấp $n$ thỏa mãn $A^{3}=-I$ và $BA^{2}+BA=C^{6}+C+I$ với $C$ là một ma trận đối xứng. Hỏi $n$ có thể bằng $2005$ không? Tại sao?

............
Đề này tiếp cận hôm thức đón giao thừa. Vẫn chưa có ý tưởng sáng sủa. hihi

[cuong148]

Cho $A,B,C$ là các ma trận vuông thực cấp $n$ thỏa mãn $A^{3}=-I$ và $BA^{2}+BA=C^{6}+C+I$ với $C$ là một ma trận đối xứng. Hỏi $n$ có thể bằng $2005$ không? Tại sao?

............
Đề này tiếp cận hôm thức đón giao thừa. Vẫn chưa có ý tưởng sáng sủa. hihi

Ta có
$BA(A+I)=C^6+C+I$
$\Rightarrow BA(A^2-A+I)=C^6+C+I$
$\Rightarrow BA^3-BA^2+BA=C^6+C+I$
$\Rightarrow -B-BA^2=BA^2$
$\Rightarrow B(2A^2+I)=0$
Suy ra $$\left[ \begin{align}
\det (B)=0 \\
\det (2{{A}^{2}}+I)=0
\end{align} \right.$$
$det(P^{-1}.(BA^2+BA).P)=det((P^{-1}CP)^6+P^{-1}CP+I)$
Với $det(B)=0$
Gỉa sử $P^{-1}CP=diag(\lambda_1,….\lambda_n)$
Ta có $x^6+x+1>0$.Nên $det(B)=0$(vô lí)
Với $Det(2A^2+I)=0$
$\Rightarrow det(2A^2-A^3)=0$
$\Rightarrow det(A^2).det(2I-A)=0$
$\Rightarrow det(2I-A)=0$
Lại có $8I^3-A^3=9I$
$(2I-A)(4I+2A+A^2)=9I$
Vậy $det(2I-A)=0$ cũng vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 14-02-2013 - 16:27

[GreatLuke]

Ta có
$BA(A+I)=C^6+C+I$
$\Rightarrow BA(A^2-A+I)=C^6+C+I$

Không hiểu chỗ này?

[cuong148]

Không hiểu chỗ này?

ừ.nhầm rồi!.chán thật.thanks!

[GreatLuke]

Theo mình thì bài này làm như sau:

Giả sử $n$ lẻ thì $det(A)=det(-I)=-1$.

Vì $A^3+I=0$ nên đa thức triệt tiêu của $A$ tách đơn $\Rightarrow A$ chéo hóa được(lại phải dùng cái định lý này).

Các giá trị riêng $\lambda$ của $A$ $\lambda _{i}\in \left\{-1,z_{1}=\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2},z_{2}=\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}\right \} $.

Giả sử $A$ không có giá trị riêng $\lambda_{i}$ nào bằng $-1$. Vì $n$ lẻ nên $detA=\prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}$ không $\in \mathbb{R}$ nên $det(A) \neq -1 \Rightarrow$ vô lý.

Vậy $A$ phải có ít nhất 1 giá trị riêng bằng $-1\Rightarrow det(A+I)=0$ vì $A+I$ có ít nhất 1 trị riêng bằng $0$.

Vì $C$ là ma trận đối xứng nên $det(C^6+C+I)>0$. Mặt khác $BA(A+I)=C^{6}+C+I$ nên $det(B)det(A)det(A+I)=det(C^{6}+C+I)$.

Mà $det(A+I)=0$ nên $det(C^6+C+I)=0 !?!$.

Vậy $n$ không thể là số lẻ.

............
@Greatluke: Chỉ sửa là Latex. Em xem lại đoạn code để rút kinh nghiệm thêm. hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-02-2013 - 18:45

[GreatLuke]

Bổ sung tí


Ma trận thực $C$ đối xứng nên chéo hoá được, các giá trị riêng $\lambda_{i}$ của nó thực. Vậy thì các giá trị riêng của $C^{6}+C+I$ là $\mu_{i}=\lambda_{i}^{6}+\lambda_{i}+1$.

Khảo sát hàm số $f(x)=x^{6}+x+1$. $f(x)>0 \forall x \in \mathbb{R}$.

Vậy $\mu_{i}>0 \forall i$ và $det(C^{6}+C+I)=\prod_{i=1}^{n} \mu_{i} >0$

[vo van duc]

Các giá trị riêng $\lambda$ của $A$ $\lambda _{i} \in \left\{ -1,z_{1}=\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2},z_{2}=\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}\right \}$

Tại sao? Nếu $n>3$ thì $A$ có giá trị riêng nào khác $3$ giá trị trên không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-02-2013 - 18:47

[GreatLuke]

Tại sao? Nếu $n>3$ thì $A$ có giá trị riêng nào khác $3$ giá trị trên không?

Giả sử ma trận $A$ có 1 vector riêng $V$ ứng với giá trị riêng $\lambda$.

$P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ là đa thức triệt tiêu của $A$.

Khi đó, $P(A)V=P(\lambda)V$. Vì $P(x)$ là đa thức triệt tiêu của $A$ nên $P(A)=0 \Rightarrow P(\lambda)=0$.

Vậy $\lambda \in P^{-1} \{ 0\}$.

Ví dụ $P(x)=x^{3}+1$ thì $\lambda$ chỉ có thể nhận 1 trong 3 giá trị là các nghiệm của $P(x)$.

........
@Greatluke: Chỉ sửa Latex

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-02-2013 - 19:29