Chủ đề này có 35 trả lời

[duaconcuachua98]

Áp dụng định lý Pytago ta được:
$EF=\sqrt{AE^{2}+AF^{2}};FG=\sqrt{FB^{2}+BG^{2}};GH=\sqrt{GC^{2}+CH^{2}};HE=\sqrt{DE^{2}+DH^{2}}$
Suy ra chu vi $EFGH$ là $\sqrt{AE^{2}+AF^{2}}+\sqrt{GB^{2}+BF^{2}}+\sqrt{GC^{2}+CH^{2}}+\sqrt{DE^{2}+DH^{2}}$
Áp dụng BĐT Mincowski ta được:
$\sqrt{AE^{2}+AF^{2}}+\sqrt{GB^{2}+BF^{2}}+\sqrt{GC^{2}+CH^{2}}+\sqrt{DE^{2}+DH^{2}}\geq \sqrt{(AE+DE+GB+GC)^{2}+(AF+FB+CH+DH)^{2}}$
Suy ra chu vi $EFGH\geq \sqrt{(AD+BC)^{2}+(AB+CD)^{2}}$
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{AE}{AF}=\frac{BG}{BF}=\frac{CG}{CH}=\frac{DE}{DH}$
Khi đó $\Delta AEF\sim \Delta BGF\sim \Delta CGH\sim \Delta DEH$
suy ra $\widehat{AFE}=\widehat{BFG}=\widehat{CHG}=\widehat{DHE}$ và $\widehat{AEF}=\widehat{DEH}=\widehat{CGH}=\widehat{BGF}$
Từ đây suy ra $\left\{\begin{matrix} \widehat{FGH}=\widehat{FEH} & \\ \widehat{EFG}=\widehat{EHG}& \end{matrix}\right.$
Suy ra $EFGH$ là hình bình hành.
Vậy $F,G,H$ ở vị trí trên lần lượt $AB,BC,CD$ sao cho $EFGH$ là hình bình hành thì chu vi $EFGH$ nhỏ nhất.
________________
@Joker: Lời giải đúng
d=10
S = 3*10 = 30

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 16:32
Chấm bài

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

[eatchuoi19999]

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

Vậy khi nào mới chấm điểm hả thầy?

[hoangtubatu955]

Lấy M,N,P lần lượt là trung điểm của EF;EG;GH. Ta có:
EF=2AM ; FG=2MN ; GH=2CP ; EH=2NP ( Đường trung tuyến trong tam giác vuông và đường trung bình trong tam giác)
Suy ra
CV tứ giác EFGH sẽ bằng:
EF+FG+GH+EH=2(AM+MN+NP+PC)
Mặt khác ta lại có
AM+MN+NP+PC $\geq$ AC ( t/c đường thẳng và đường gấp khúc )
Đẳng thức xảy ra khi M,N,P nằm trên AC.
SUY RA:
GTNN của CV tứ giác EFGH là 2AC $\Leftrightarrow$ M,N,P nằm trên AC khi đó EFGH là hình bình hành

Hình gửi kèm

• 

[nhatquangsin]

các anh em xin bỏ đi 3 dòng cuối bài làm. Không biết bị lỗi hay sao mà lại hiện ra

[LNH]

Mình xin lấy bài thứ nhất còn bài thứ hai thì bỏ (vì trong khi viết máy lắc nên mình làm lại cho chắc)

[Khanh 6c Hoang Liet]

Đáp án chính thức :
Gọi $\text{I, K, M}$ theo thứ tự là trung điểm của $\text{EF, EG, GH}$ (như hình vẽ ở bên dưới) :

$\triangle \text{AEF}$ vuông tại $\text{A}$ có $\text{AI}$ là trung tuyến $\Rightarrow \text{AI} = \frac{1}{2}\text{EF}$.
Tương tự $\text{MC} = \frac{1}{2}\text{GH}$.
$\text{IK}$ là đường trung bình của $\triangle \text{EFG} \Rightarrow \text{IK} = \frac{1}{2}\text{FG}$.
Tương tự $\text{KM} = \frac{1}{2}\text{EH}$.
Do đó chu vi của hình tứ giác $\text{EFGH = EF + FG + GH + EH} = 2\left ( \text{AI + IK + KM + MC} \right )$.
Ta lại có : $\text{AI + IK + KM + MC} \geq \text{AC}$ (so sánh độ dài đoạn thẳng với độ dài đường gấp khúc).
Suy ra : chu vi của hình tứ giác $\text{EFGH} \geq 2\text{AC}$ (độ dài $\text{AC}$ không đổi).
Vậy, chu vi nhỏ nhất của $\text{EFGH}$ là $2\text{AC}$.
$\Leftrightarrow \text{A, I, K, M, C}$ thẳng hàng.
Khi đó ta có $\text{EH//AC, FG//AC}$$,$ $\widehat{\text{AEI}} = \widehat{\text{EAI}} = \widehat{\text{ADB}}$ nên $\text{EF//DB}$, tương tự $\text{GH//DB}$. Tứ giác $\text{EFGH}$ là hình bình hành có các cạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật $\text{ABCD}$ (như hình vẽ) :

P/s : Em vẽ hơi xấu, mong mọi người thông cảm.

[Nguyen Duc Thuan]

Bạn chứng minh chỗ này giùm mình "không đc nói là nhìn hình ta có "

Chỗ đó đâu phải là "nhìn hình ta có "? Chỉ là suy luận chưa rõ ràng thôi nhé!

Spoiler

Có gì sai sót xin mn lượng thứ ! Mình hơi "to mồm" tí

thế suy luận rõ ràng hơn đi. Mình cũng chưa hiểu lắm

Giả nai hả???
$AM+MN+NP+PC=AMNPC \geq AC$ (t/c đg gấp khúc)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 18-02-2013 - 21:29

[BlackSelena]

thế suy luận rõ ràng hơn đi. Mình cũng chưa hiểu lắm

Nó chẳng khác gì "Bất đẳng thức tam giác liên hoàn" đâu bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 19-02-2013 - 01:06

[field9298]

sao bai của mình không được chấm điểm vậy

[Joker9999]

Đã chấm xong trận 19 MSS về hình học. Những bài không vẽ hình em trừ điểm nặng ( Thầy Thế nếu cần thì fix nha em không biết thiếu hình trừ bao nhiêu)
Đề bài tương đối dễ, cách làm của các toán thủ hầu hết giống nhau. Đa số có lời giải đúng

[LNH]

Em đã bảo là chọn bài thứ nhất rồi mà

[BlackSelena]

Mở rộng 2 :
Bài toán MSS và bài mở rộng đều được cho 1 đặc điểm là góc $(90^o)$ .Mở rộng này sẽ bỏ hết đặc điểm ấy đi , bắt đầu với tam giác .
Cho tam giác $ABC, E,F,G$ thuộc $AB,BC,CA$ .Tìm vị trí của $E,F,G$ dể chu vi $\Delta EFG$ nhỏ nhất.
Bài làm :
Lấy H ,K lần lượt là điểm đối xứng của F qua AB ,AC.
Ta có $C_{EFG} = EH +HG +GK \geq EK$
Mà $\angle HAK =2 \angle ABC :\text{const}$
$\Rightarrow HK min \Leftrightarrow AH min \Leftrightarrow AF min \Leftrightarrow F$ là đường cao của $\Delta ABC$
Và $E$ và $G$ là giao điểm của $EK$ và $AB$ và $AC$.
Dẽ thấy $AE$ và $AG$ là các phân giác góc ngoài $\Delta EGF $
$\Rightarrow FA$ là phân giác $\angle EFG$
$\Rightarrow FA$ là phân giác góc ngoài $\angle EFG$
$\Rightarrow BG$ là phân giác góc trong $\angle EGF$
$\Rightarrow BG \perp AC$
Tương tự $CE \perp AB$
Sử dụng đinh lý hàm cos ( có chưng minh ở đây )
Ta có $HK^2 =2AH^2 -AH^2.cos(2A)$
$\Rightarrow HK =\sqrt{2AH^2 -AH^2.cos(2A)} :\text{Const} $ Do $\Delta ABC :\text{Const}$
Vậy $C_{EFG} Min =\sqrt{2AH^2 -AH^2.cos(2A)} .$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow E,F,G$ là chân các đường vuông góc hạ từ 3 định của $\Delta ABC$

Mở rộng này không liên quan tới bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 01-03-2013 - 06:24

[E. Galois]

Điểm ra đề:

3*22 + 30 + 2*1 = 98

[daovuquang]

Cho em hỏi về bài làm của em: ở post ngay dưới em có post nhờ sửa điểm D thành C trong bài liệu có được tính ko? Với cả em làm 2 cách khác thì chỉ tính điểm 1 cách hay tính cả 2?

[BlackSelena]

Với cả em làm 2 cách khác thì chỉ tính điểm 1 cách hay tính cả 2?

$d_t$ là điểm thưởng cho thí sinh giải được nhiều cách, cách giải có sáng tạo. Tổng điểm thưởng không vượt quá 10 điểm.