Chủ đề này có 2 trả lời

[huy thắng]

Cho $ f:\mathbb{R} ->\mathbb{R}$ thỏa với mọi x thuộc $ \mathbb{R}$ ta có
$|f(x)|\leq 1$
và $f(x+\frac{13}{42})+f(x)=f(x+\frac{1}{6}) + f(x+\frac{1}{7})$
$Cmr:f$ là hàm tuần hoàn.

[Idie9xx]

Cho $ f:\mathbb{R} ->\mathbb{R}$ thỏa với mọi x thuộc $ \mathbb{R}$ ta có
$|f(x)|\leq 1$
và $f(x+\frac{13}{42})+f(x)=f(x+\frac{1}{6}) + f(x+\frac{1}{7})$
$Cmr:f$ là hàm tuần hoàn.

Ta chứng minh luôn bài toán tổng quát này :

Cho $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $\forall x \in \mathbb{R}$ ta có:
$(1),|f(x)|\leq m, m \in \mathbb{R^+}$
$(2),f(x+a+b)+f(x)=f(x+a) + f(x+b)$ với $a,b \in \mathbb{Q}$
Cmr: $f$ là hàm tuần hoàn.

Chọn $c$ sao cho $k \cdot a=c,h \cdot b=c$ với $k,h,c \in \mathbb{N^*}$

Từ $(2)$ có: $$f(x)-f(x+a)=f(x+b) - f(x+a+b)$$

$$=f(x+2b) - f(x+a+2b)=\cdots=f(x+c)-f(x+c+a)$$

$$\Rightarrow f(x)-f(x+c)=f(x+a)-f(x+c+a)$$

$$=f(x+2a)-f(x+c+2a)=\cdots=f(x+c)-f(x+2c)$$

Dễ thấy $f(x)-f(x+c)=f(x+t \cdot c)-f(x+(t-1) \cdot c)$ với $t \in \mathbb{Z}$

Đặt $f(x)-f(x+c)=u$ Ta có: $(f(x)-f(x+c))+(f(x+c)-f(x+2c))+ \cdots +(f(x+ (n-1) \cdot c)-f(x+ n \cdot c))=n \cdot u$

$\Rightarrow f(x)-f(x+n \cdot c)=n \cdot u$

Từ $(1)$ với $n$ đủ lớn thì $n \cdot |u|=|n \cdot u|=|f(x)-f(x+n \cdot c)| \leq 2m$ mâu thuẫn.

$\Rightarrow u=0 \Rightarrow f(x)=f(x+c)$ (dpcm)

 

 chỗ này mình thấy hình như có vấn đề thì phải,bạn kiểm tra lại thử xem ?

 

Mình quên chưa sửa chỗ đó . Nhầm $u$ với $c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 23-04-2013 - 16:02

[huy thắng]

 

Dễ thấy $f(x)-f(x+c)=f(x+t \cdot c)-f(x+(t-1) \cdot c)$

Đặt $f(x)-f(x+c)=u$ Ta có: $(f(x)-f(x+c))+(f(x+c)-f(x+2c))+ \cdots +(f(x+ (n-1) \cdot c)-f(x+ n \cdot c)=n \cdot c$

$\Rightarrow f(x)-f(x+n \cdot c)=n \cdot u$

 chỗ này mình thấy hình như có vấn đề thì phải,bạn kiểm tra lại thử xem ?