Chủ đề này có 1 trả lời

[25 minutes]

Tìm số thực $k$ lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức sau
$\frac{k}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\geq \frac{16+4k}{(a+b)^3}$ ?

[maitienluat]

Tìm số thực $k$ lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức sau
$\frac{k}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\geq \frac{16+4k}{(a+b)^3}$ ?

Chắc phải có đk a, b dương
Biến đổi BĐT đã cho thành
$$\left ( \frac{k}{a^{3}+b^{3}}-\frac{4k}{(a+b)^{3}} \right )+\left ( \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}-\frac{16}{(a+b)^{3}} \right )\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \left ( \frac{a-b}{a+b} \right )^{2}\left [ \frac{(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+3ab(a+b)^{2}+3a^{2}b^{2}}{a^{3}b^{3}(a+b)}-\frac{3k}{a^{3}+b^{3}} \right ]\geq 0$$
Nên BĐT sau phải đúng:
$$\left [ (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+3ab(a+b)^{2}+3a^{2}b^{2} \right ](a^{3}+b^{3})\geq 3ka^{3}b^{3}(a+b)$$
Cho $a=b$ suy ra $k\leq 8$. Mặt khác, khi k=8 thì theo AM-GM:
$$(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+3ab(a+b)^{2}+3a^{2}b^{2}\geq 24a^{2}b^{2}$$
$$a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$$
Nên ta suy ra đpcm. Hằng số $k$ tốt nhất là $k=8$