Chủ đề này có 2 trả lời

[trungdung97]

Cho x,y,z dương thõa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3y $Tìm GTNN$\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}$

[WhjteShadow]

Cho x,y,z dương thõa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3y $Tìm GTNN$\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}$

Nhìn vào bài toán :-? Ừm, chắc có lẽ ai cũng sẽ nghĩ ngay đến phương pháp đưa về 1 ẩn để khảo sát hàm số. Lại liếc qua giả thiết, thật tự nhiên ta muốn đưa bất đẳng thức về hàm 1 biến the0 $y$. Để đạt được điều đó, ta phải đưa bất đẳng thức về dạng đối xứng the0 $x$ và $z$.
Ý tưởng đã rõ, bắt tay vào làm thôi :-bd
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{27}{(a+b+c)^2}$ ta có:
$$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{\left(\frac{z}{2}+\frac{3}{2}\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{z}{2}+\frac{3}{2}\right)^2}\geq \frac{27}{(x+z+4)^2}$$
Ồ đến đây mọi chuyện gần như sáng tỏ :-bd anh $x$ đã về chung 1 mái nhà với chị $z$ :"> H xử lý giả thiết để đưa về 1 biến thôi
Nhưng khoan đã, nếu ta đánh giá $AM-GM$ thông thường:
$$3y\geq y^2+x^2+z^2\geq y^2+\frac{(x+z)^2}{2}$$
Thì khi thay vào bất đẳng thức sẽ xuất hiện căn thức khó chịu. Làm sao để loại bỏ chuyện này >.<" Từ giả thiết ta dễ dàng có $y\in [0;3)$, $x,z\in [0;\sqrt{3})$. Sau 1 hồi ngẫm nghĩ và tìm tòi, ta dự đoán dấu bằng sẽ được xảy ra khi $x=z=1$, còn $y$, có thể $y=1$ hoặc $y=2$. Dựa vào suy nghĩ đó, ta sử dụng $Cauchy-Schwarz$ như sau:
$$3y+4\geq y^2+x^2+z^2+4\geq y^2+\frac{(x+z+4)^2}{6}$$
Vậy nên :")
$$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq \frac{27}{(x+z+4)^2}\geq \frac{9}{2(3y+4-y^2)}$$
Vậy cuối cùng ta cần tìm GTNN của:
$$f(y)=\frac{4}{(y+2)^2}+\frac{9}{2(3y+4-y^2)}$$
$$f'(y)=\frac{(y-2)(2y^3+181y^2+400y+236)}{2[(y-4)(y+1)(y+2)]^2} \,\text{có nghiệm y=2 và đổi dấu tại đó}$$
Vậy nên $f(y)_{Min}=f(2)=1$. Dấu đẳng thức xảy ra tại $x=z=1,y=2$ $\blacksquare$

[nguyenthehoan]

Bài của bạn mình làm thế này...
Ta có $(x+1)^{2}\leq 2(x^{2}+1),(z+3)^{2}\leq 4(z^{2}+3)$ (bdt bunhia)
$\Rightarrow \frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}\geq \frac{1}{2(x^{2}+1)}+\frac{2}{z^{2}+3}\geq \frac{9}{2(x^{2}+z^{2})+8}$ (bdt svac)
Theo bài ra $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3y\Rightarrow x^{2}+z^{2}\leq 3y-y^{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}\geq \frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{9}{2(3y-y^{2})+8}$
Ta đi chứng minh biểu thức này đạt GTNN bằng 1.
thật vậy biến đổi tương đương ta có
$(y-2)^{2}(2y^{2}+10y+9)\geq 0$ hiển nhiên đúng vì y>0.
Vậy GTNN biểu thức bằng 1 khi x=z=1 và y=2