Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển Olympic toán 2013 ĐH Mỏ địa chất- môn Giải tích


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
khacduongpro_165

khacduongpro_165

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết

Đề thi chọn đội tuyển Olimpic DH Mỏ Địa Chất HN, môn giải tích (Vòng 1 - 2013)



Trần Hiệp Anh - DH Mỏ - Địa Chất Hà Nội:



4f4f3aafa9f7f.jpg



Bài 1 ($3$ điểm): Tính tích phân: $I = \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\sqrt{1+x^2}}$

Bài 2: ($3$ điểm): Tính giới hạn sau: $\underset{n\rightarrow +\infty}{Lim}(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+...+\frac{2n-1}{2^n})$

Bài 3: ($3$ điểm): Tìm tất cả các giá trị của $a \in \mathbb{R}$ để hàm số: $f(x)=\left | x-1 \right |.(a^3x^2+2ax-3)$ khả vi tại $x=1$

Bài 4: ($4$ điểm): Cho hàm $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$ , khả vi trên $(0,1)$ có $f(1)=0$ chứng minh rằng:

Tồn tại $x_0\in (0,1)$ để: $f'(x_0).x_0 + 1 = e^{-f(x_0)}$.

Bài 5: ($3$ điểm): Chứng minh hàm $f(x)$ xác định trên $R$ thỏa mãn: $f(x+1) + f(x-1) = \sqrt{2}f(x)$ là một hàm tuần hoàn và tìm một chu kì của nó.

Bài 6: ($4$ điểm): Cho $f(x)$ là hàm chẵn, liên tục trên $[-a,a] \;, a \in \mathbb{R}_*^+$ , $g(x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn $[-a,a]$ và: $g(-x)=\frac{1}{g(x)}$, $ \forall x\in [-a,a]$.

a. Chứng minh rằng: $\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx=\int_{0}^{a}f(x)dx$.

b. Tính: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1+\sqrt{x^2+1}-x}dx$

 

 

 

 

Môn Đại số: 

 

Câu 1: Cho $a_0$, $d\in R$ và $a_1=a_0+id$ với $\forall i=\overline{1,n}$. Hãy tính định thức sau:

 

 

 

$\Delta = \begin{vmatrix}

a_0 & a_1 & a_2 &...  &a_n \\ 
 a_1& a_0 & a_1 &  ...& a_{n-1}\\ 
 a_2& a_1 & a_0 & ... & a_{n-2} \\ 
 ...& ... & ... &  ...& \\ ...
 a_n& a_{n-1} & a_{n-2} & ... & a_0

\end{vmatrix}$

 

Câu 2: Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$, $(n\geq 2$, $I$ à ma trận đơn vị cấp $n$. Giả sử $AB+2012A+2013B=I$. Chứng minh rằng: $AB=BA$.

 

 

Câu 3: Cho $X$ là ma trận cấp $n$ không suy biến và có các cột là: $X_1, X_2,....,X_n$, $(n\geq 2)$.

Cho $Y$ là ma trận có các cột là $X_2, X_3, .., X_n, 0$.

a) Tìm ma trận $J$ thỏa mãn: $Y=X.J$..

 

b) Chứng minh rằng các ma trận $A=Y.X^{-1} ; B=X^{-1}.Y$ chỉ có giá tri riêng là 0 và đều có hạng bằng $n-1$.

 

Câu 4: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ có tất cả các phần tử bằng $1$ hoặc $-1$. Chứng minh rằng: với $n\geq 3$ thì $\left | det(A) \right |\leq (n-1)(n-1)!$

 

Câu 5: Tìm điều kiện của $n$ nguyên dương để đa thức $P(x) = x^n +4$ phân tích được thành tích của 2 đa thức có hệ số nguyên bậc nhỏ hơn $n$.

 

Câu 6: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn: $P(x^2) - P^2(x) = 2x[x - P(x)]$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 19-03-2013 - 21:55

"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!

#2
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Bài 6: ($4$ điểm): Cho $f(x)$ là hàm chẵn, liên tục trên $[-a,a] \;, a \in \mathbb{R}_*^+$ , $g(x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn $[-a,a]$ và: $g(-x)=\frac{1}{g(x)}$, $ \forall x\in [-a,a]$.

a. Chứng minh rằng: $\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx=\int_{0}^{a}f(x)dx$.

b. Tính: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1+\sqrt{x^2+1}-x}dx$

 

 

 

a) $A=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}\ dx$

 

$A=\int_{-a}^{0}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx+\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}\ dx$

 

Xét $I=\int_{-a}^{0}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx$

 

Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-\ dx$

 

$\Rightarrow I=\int_{0}^{a}\frac{f(-t)}{1+g(-t)}\ dt$

 

$\Rightarrow I=\int_{0}^{a}\frac{f(-x)}{1+g(-x)}\ dx$

 

$I=\int_{0}^{a}\frac{f(x).g(x)}{1+g(x)}\ dx$

 

Vậy $A=\int_{0}^{a}\frac{f(x).g(x)}{1+g(x)}\ dx+\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}\ dx$

 

$A=\int_{0}^{a}\frac{f(x).g(x)}{1+g(x)}+\frac{f(x)}{1+g(x)}\ dx$

 

$A=\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}\ dx$ (đpcm)

 

 

b)

 

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1+\sqrt{x^2+1}-x}\ dx$

 

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\ dx$

 

$=\sin x|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 19-03-2013 - 17:34

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#3
phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết

Câu 1: Cho $a_0, d \in \mathbb{R} $ và $a_i=a_0+id$ với $\forall i=\overline{1,n}$. Hãy tính định thức sau:

 

$$\Delta = \begin{vmatrix}a_0 & a_1 & a_2 &...  &a_n \\ a_1& a_0 & a_1 &  ...& a_{n-1}\\ a_2& a_1 & a_0 & ... & a_{n-2} \\  ...& ... & ... &  ...& \\ a_n& a_{n-1} & a_{n-2} & ... & a_0 \end{vmatrix}$$

 

Câu 2: Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$, $(n\geq 2$, $I$ à ma trận đơn vị cấp $n$. Giả sử $AB+2012A+2013B=I$. Chứng minh rằng: $AB=BA$.

 

 

Câu 3: Cho $X$ là ma trận cấp $n$ không suy biến và có các cột là: $X_1, X_2,....,X_n$, $(n\geq 2)$.

Cho $Y$ là ma trận có các cột là $X_2, X_3, .., X_n, 0$.

a) Tìm ma trận $J$ thỏa mãn: $Y=X.J$

 

b) Chứng minh rằng các ma trận $A=Y.X^{-1} ; B=X^{-1}.Y$ chỉ có giá tri riêng là 0 và đều có hạng bằng $n-1$.

 

Câu 4: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ có tất cả các phần tử bằng $1$ hoặc $-1$. Chứng minh rằng: với $n\geq 3$ thì $\left | det(A) \right |\leq (n-1)(n-1)!$

 

Câu 5: Tìm điều kiện của $n$ nguyên dương để đa thức $P(x) = x^n +4$ phân tích được thành tích của 2 đa thức có hệ số nguyên bậc nhỏ hơn $n$.

 

Câu 6: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn: $P(x^2) - P^2(x) = 2x[x - P(x)]$

 

 

Cảm ơn bạn Bùi Khắc Dương- HV tài chính đã gửi đề thi này.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 19-03-2013 - 21:57

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#4
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Bài 1 ($3$ điểm): Tính tích phân: $I = \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\sqrt{1+x^2}}$

 

Bài này chắc làm đại chứ chả biết đúng hay sai :P

 

$I = \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\sqrt{1+x^2}}$

 

Đặt $x=\tan t\Rightarrow dx=\frac{1}{\cos^{2}t}\ dt$

 

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$

 

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\arctan x=\frac{\pi}{2}$ (hic ai đó chứng minh dùm cái này)

 

Tích phân thành $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\frac{1}{\cos^{2}t}}{(\tan t+1)\frac{1}{\cos t}}\ dt$

 

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin t+\cos t}\ dt$

 

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(\sin t+\cos t)^{2}-2\sin t\cos t}{\sin t+\cos t}\ dt$

 

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin t+\cos t-\frac{2\sin t\cos t}{\sin t+\cos t})\ dt$

 

$I=[\sin t-\cos t-\frac{1+\sin 2t}{2}+\ln(\sin t+\cos t)]|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=0$


Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#5
duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết

bài 2 : $2n-1 =\frac{1}{2}[2(4n+2)-(4(n+1)+2)]$ thay vào thì tính đc giới hạn

bai4) xét hàm $g(x)=f(x)x-x$ . sau đó dùng định lí roll ..

bai5) từ điều kiên ta được : $f(x-2)+f(x+2)=0$ hay $f(x)=f(x+8)$


NGU
Hình đã gửi

#6
letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Mình cùi mà đề này cũng thấy ngon   :lol: 

Bài 2: xét chuỗi $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2n-1}{2^{n}}$ dễ thấy chuỗi dương, hội tụ theo tiêu chuẩn cauchy, vậy giới hạn bằng 0

Bài 3: dùng định nghĩa để tìm

Bài 4: xét hàm $g(x)=x.(e^{f(x)}-1)$ dùng rolle ta có dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letrongvan: 04-04-2013 - 13:08

Tào Tháo


#7
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Mình cùi mà đề này cũng thấy ngon   :lol: 

Bài 2: xét chuỗi $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2n-1}{2^{n}}$ dễ thấy chuỗi dương, hội tụ theo tiêu chuẩn cauchy, vậy giới hạn bằng 0

Bài 3: dùng định nghĩa để tìm

Bài 4: xét hàm $g(x)=x.(e^{f(x)}-1)$ dùng rolle ta có dpcm

:P anh ơi bài $3$ không phải là $0$ đâu

http://diendantoanho...c523frac2n-12n/


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#8
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

bài 2

$\sum \frac{2n-1}{2^{n}}=\sum \frac{2n}{2^{n}}-\sum \frac{1}{2^{n}}$

có$\sum \frac{1}{2^{n}}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$

$\sum \frac{2n}{2^{n}}=2\sum \frac{n}{2^{n}}=2\sum \frac{2n-(n+1)+1}{2^{n}}=2\sum (\frac{n}{2^{n-1}}-\frac{n+1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}})=2(1-\frac{n+1}{2^{n}})+2$

suy ra $\lim u_{n}=2(1-0+1)-1=3$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh