Chủ đề này có 4 trả lời

[ilovelife]

1.Giải phương trình nghiệm nguyên: $\frac {x^7-1}{x-1}+1=y^5$

2.Tìm số nguyên tố $a^2 + b^2 + c^2$ sao cho $a^2+b^2+c^2 \mid a^4 + b^4 + c^4$ (với $a,b,c \in \mathbb N$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 24-03-2013 - 16:12

[nguyenta98]

1.Giải phương trình nghiệm nguyên: $\frac {x^7-1}{x-1}+1=y^5$

2.Tìm số nguyên tố $a^2 + b^2 + c^2$ sao cho $a^2+b^2+c^2 \mid a^4 + b^4 + c^4$ (với $a,b,c \in \mathbb N$)

Giải như sau:
1) $\dfrac{x^7-1}{x-1}=y^5-1$
Xét $p|\dfrac{x^7-1}{x-1}$
Nếu $x-1 \vdots p$ thì $\dfrac{x^7-1}{x-1}=x^6+x^5+...+x+1\equiv 7 \pmod{p}$ do đó $p=7$
Nếu $x-1 \not \vdots p \Rightarrow x^7-1 \vdots p$ khi ấy gọi $k$ là số nhỏ nhất thỏa $x^k-1 \vdots p$ khi ấy $k|7$ nên $k=7$ do nếu $k=1$ thì $x-1 \vdots p$ mâu thuẫn, do đó $k=7$ mặt khác theo Fermat nhỏ $x^{p-1}-1 \vdots p$ nên $p-1 \vdots k$ nên $p-1 \vdots 7$ nên $p \equiv 1 \pmod{7}$
Tóm lại từ hai điều trên ta suy ra mọi ước của $\dfrac{x^7-1}{x-1}$ hoặc là chia $7$ dư $1$ hoặc là chia hết cho $7$

Do đó $(y-1)(y^4+y^3+y^2+y+1)=\dfrac{x^7-1}{x-1}$ nên $y-1,y^4+y^3+y^2+y+1$ là hai ước của $\dfrac{x^7-1}{x-1}$, theo nhận định trên suy ra $x-1 \vdots 7$ hoặc $x-1 \equiv 1 \pmod{7}$ nếu $x-1 \vdots 7$ thì $y^4+....+y+1 \equiv 5 \pmod{7}$ mà là ước của $\dfrac{x^7-1}{x-1}$ mâu thuẫn nhận định, tương tự $x-1 \equiv 1 \pmod{7}$ cũng thu được điều vô lí

Do đó pt vô nghiệm

[Lanaseafood]

Bạn giải thích giúp mình $x^{6}+x^{5}+...+1\equiv 7(mod p)$

[Zaraki]

Bạn giải thích giúp mình $x^{6}+x^{5}+...+1\equiv 7(mod p)$

Cái này là vì $x \equiv 1 \pmod{p}$ đó mà.

[ngoctruong236]

$\dpi{150} \small Khong mat tinh tong quat gia su a\leq b\leq c.Ta cóp^2=(a^2+b^2+c^2)^2\rightarrow \left [(a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2) \right ]\vdots p.Ma (a^4+b^4+c^4)\vdots p\rightarrow 2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)\vdots p.Mat\neq a,b,c\geq 1\rightarrow p\geq 3\rightarrow (p,2)=1\rightarrow (a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)\vdots p .Do đó \left [ a^2b^2+c^2(a^2+b^2+c^2)-c^4 \right ]\vdots p\rightarrow a^2b^2-c^4\vdots p\Leftrightarrow (ab-c^2)(ab+c^2)\vdots p.Lai có ab< 2ab\leq a^2+b^2\rightarrow 1< ab+c^2< a^2+b^2+c^2=p\rightarrow (ab+c^2,p)=1\rightarrow ab-c^2\vdots p.Mat\neq 1\leq a\leq b\leq c\rightarrow 0\leq c^2-ab< c^2< a^2+b^2+c^2=p\rightarrow c^2-ab=0\rightarrow c^2=ab\rightarrow p=3a^2.Ma p la số nguyên tố\rightarrow a=1\rightarrow p=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngoctruong236: 25-07-2013 - 18:24