Chủ đề này có 9 trả lời

[C a c t u s]

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BẮC GIANG

Năm học 2012-2013

KỲ THI CHỌN HSG MÔN TOÁN 9

Ngày thi: 30/3/2013

Thời gian: 150 phút

-----------

Câu 1:

1. Tính giá trị biểu thức: $A=\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}-\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}$

2. Rút gọn biểu thức:

$P=\frac{\sqrt{a-2}+2}{3}.(\frac{\sqrt{a-2}}{3+\sqrt{a-2}}+\frac{a+7}{11-a}) : (\frac{3\sqrt{a-2}+1}{a-3\sqrt{a-2}-2}-\frac{1}{\sqrt{a-2}})$

Câu 2:

1. Giải phương trình: $3\sqrt{x^3+8}=2x^2-3x+10$

2. Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+1=4y & \\ (x^2+1)(x+y-2)=y & \end{matrix}\right.$

Câu 3:

1.Cho hàm số $y=x^2$. Tìm các giá trị của $m$ để đường thẳng $\Delta$ có phương trình $y=x-m$ cắt đồ thị hàm số tại $2$ điểm phân biệt $A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)$ thoả mãn $(x_2-x_1)^4+(y_2-y_1)^4=18$

2. Cho $a,b,c$ là các số nguyên tố thoả mãn:

$20abc<30(a+b+c)<21abc$

Tìm $a,b,c$

Câu 4: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A (AB<AC)$. Đường cao $AH$. $O$ là trung điểm của $BC$. Đường tròn $(I)$ đường kính $AH$ cắt $AB,AC$ tại $M,N$. Đường thẳng $AO$ cắt $MN$ tại $D$.

1. Chứng minh: Tứ giác $BMNC$ nội tiếp

2. Chứng minh: $\frac{1}{AD}=\frac{1}{HB}+\frac{1}{HC}$

3. Cho $AB=3; AC=4$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle BMN$

Câu 5: Cho $a,b,c$ là các số dương thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi C a c t u s: 02-04-2013 - 19:16

[25 minutes]

Câu 5: Cho $a,b,c$ là các số dương thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2b^2+1}+\frac{1}{b^2+2c^2+1}+\frac{1}{c^2+2a^2+1}\le \frac{1}{2}$

Câu này có chút vấn đề

Thay $a=b=c=1$, ta có $\sum \frac{1}{a^2+2b^2+1}=\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}$

Hoặc cho $a,b\rightarrow 0,c\rightarrow +\infty \Rightarrow \sum \frac{1}{a^2+2b^2+1}\rightarrow 1$

[25 minutes]

1. Giải phương trình: $3\sqrt{x^3+8}=2x^2-3x+10$

ĐK: $ x \geq -2$

Biến đổi phương trình về dạng $3\sqrt{(x+2)(x^2-2x+4)}=(x+2)+2(x^2-2x+4)$

Đặt $\sqrt{x+2}=a,\sqrt{x^2-2x+4}=b(a,b \geq 0)$

$\Rightarrow 3ab=2a^2+b^2\Rightarrow a=b$

Do đó $\sqrt{x+2}=\sqrt{x^2-2x+4}\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\Leftrightarrow x=1,x=2$

[banhgaongonngon]

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BẮC GIANG

Năm học 2012-2013

KỲ THI CHỌN HSG MÔN TOÁN 9

Ngày thi: 30/3/2013

Thời gian: 150 phút

-----------

Câu 2:

1. Giải phương trình: $3\sqrt{x^3+8}=2x^2-3x+10$

2. Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+1=4y & \\ (x^2+1)(x+y-2)=y & \end{matrix}\right.$

 

1. Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x+2}\geq 0\\ b=\sqrt{x^{2}-2x+4}\geq \sqrt{3} \end{matrix}\right.$

Ta có $3ab=2b^{2}+a^{2}\Leftrightarrow (a-b)(a-2b)=0$

2. Ta có hệ $\left\{\begin{matrix} 1+\frac{y}{x^{2}+1}(x+y)=4\frac{y}{x^{2}+1}\\ x+y-2=\frac{y}{x^{2}+1} \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x+y=a\\\frac{y}{x^{2}+1} =b \end{matrix}\right.$

[duongtoi]

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BẮC GIANG

Năm học 2012-2013

KỲ THI CHỌN HSG MÔN TOÁN 9

Ngày thi: 30/3/2013

Thời gian: 150 phút

-----------

Câu 1:

1. Tính giá trị biểu thức: $A=\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}-\sqrt[3]{26+15-\sqrt{3}}$

2. Rút gọn biểu thức:

$P=\frac{\sqrt{a-2}+2}{3}.(\frac{\sqrt{a-2}}{3+\sqrt{a-2}}+\frac{a+7}{11-a}) : (\frac{3\sqrt{a-2}+1}{a-3\sqrt{a-2}-2}-\frac{1}{\sqrt{a-2}})$

Câu 2:

1. Giải phương trình: $3\sqrt{x^3+8}=2x^2-3x+10$

2. Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+1=4y & \\ (x^2+1)(x+y-2)=y & \end{matrix}\right.$

Câu 3:

1.Cho hàm số $y=x^2$. Tìm các giá trị của $m$ để đường thẳng $\Delta$ có phương trình $y=x-m$ cắt đồ thị hàm số tại $2$ điểm phân biệt $A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)$ thoả mãn $(x_2-x_1)^4+(y_2-y_1)^4=18$

2. Cho $a,b,c$ là các số nguyên tố thoả mãn:

$20abc<30(a+b+c)<21abc$

Tìm $a,b,c$

Câu 4: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A (AB<AC)$. Đường cao $AH$. $O$ là trung điểm của $BC$. Đường tròn $(I)$ đường kính $AH$ cắt $AB,AC$ tại $M,N$. Đường thẳng $AO$ cắt $MN$ tại $D$.

1. Chứng minh: Tứ giác $BMNC$ nội tiếp

2. Chứng minh: $\frac{1}{AD}=\frac{1}{HB}+\frac{1}{HC}$

3. Cho $AB=3; AC=4$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle BMN$

Câu 5: Cho $a,b,c$ là các số dương thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2b^2+1}+\frac{1}{b^2+2c^2+1}+\frac{1}{c^2+2a^2+1}\le \frac{1}{2}$

Câu 1 đề cũng gõ sai rồi.

Ta có $26+15\sqrt3=(\sqrt3+2)^3$ và $26-15\sqrt3=(2-\sqrt3)^3$

[C a c t u s]

Câu này có chút vấn đề

Thay $a=b=c=1$, ta có $\sum \frac{1}{a^2+2b^2+1}=\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}$

Hoặc cho $a,b\rightarrow 0,c\rightarrow +\infty \Rightarrow \sum \frac{1}{a^2+2b^2+1}\rightarrow 1$

Xin lỗi bạn, đã sửa lại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi C a c t u s: 02-04-2013 - 19:16

[mango]

Câu 5: Cho $a,b,c$ là các số dương thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le \frac{1}{2}$

Ta có:

$a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2\geq 2(ab+b+1)$ 

nên 

$\sum \frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq \sum \frac{1}{2(ab+b+1)}= \frac{1}{2}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c =1

[Trang Luong]

Ta có:

$a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2\geq 2(ab+b+1)$ 

nên 

$\sum \frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq \sum \frac{1}{2(ab+b+1)}= \frac{1}{2}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c =1

Tại sao $\sum \frac{1}{2(ab+b+1)}=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 07-04-2013 - 10:38

[Trang Luong]

Câu 2: Ta có : $3\sqrt{x^{3}+8}=2x^{2}-3x+10\Leftrightarrow 3\left ( \sqrt{x^{3}+8}-3 \right )=2x^{2}-3x+1\Leftrightarrow 3.\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{\sqrt{x^{3}+8}+3}=(x-1)(2x-1)\Leftrightarrow (x-1)\left ( \frac{3(x^{2}+x+1)}{\sqrt{x^{3}+8}+3}+1-2x \right )=0$

[mango]

Tại sao $\sum \frac{1}{2(ab+b+1)}=\frac{1}{2}$

Ta CM như sau:

$\frac{1}{ab+b+1}=\frac{c}{1+bc+c}$  ( cùng nhân c, và abc =1)

$\frac{1}{ac+a+1}=\frac{bc}{c+1+bc}$  ( cùng nhân bc)

Như vậy:

$\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{ac+a+1}+\frac{1}{bc+c+1}=\frac{c+bc+1}{bc+c+1}=1$