Chủ đề này có 6 trả lời

[Taylor]

Cho $0\leq a\leq b\leq 1$, CM: $b^{2}a-a^{2}b\leq \frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Taylor: 11-04-2013 - 19:15

[Oral1020]

Ta có BĐT:
$xy \le \frac{(x+y)^2}{4}$. Vì BĐT này tương đương $(x-y)^2 \ge 0$ (đúng)
Dâu $"="$ xảy ra khi $x=y$
Áp dụng BĐT này ta có:
$ab^2-a^2b = ab(b-a)$ $\le$ $\frac{(ab+b-a)^2}{4}$ $(1)$
Mà vì $0$ $a$ $ b$ $1$ nên $(a+1)(1-b)$ $0$ $\Longleftrightarrow$ $ab+b-a$ $\le$ $1$.
mà $ab+b-a$ $\ge$ $0$. nên $\Longrightarrow$ $(ab+b-a)^2$ $\le$ $1$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ $\Longrightarrow $$ab^2-a^2b$ $\le$ $\frac{1}{4}$ (ĐPCM)
Dâu $"="$ xảy ra khi $ab=b-a$ và $b=1$ $\Longleftrightarrow$ $a=\frac{1}{2}$; $b=1$

--

Mình cũng ở BÌnh phước nên mình thấy đề này trong đề thi HSG BP nếu bạn có đề phiền bạn up giùm

[Taylor]

Mình cũng có cách này nữa :Đặt P= $b^{2}a-a^{2}b$
$\Rightarrow$ P= ab(b-a)
Vì $0\leq a\leq b\leq 1$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 0 & \leqslant ab & \leqslant a\\ 0 & \leqslant b-a& \leqslant 1-a \end{matrix}\right.$
Nhân vế theo về ta có: P$\leq$a(1-a)$\leq$$(\frac{a+(1-a)}{2})^{2}$=$\frac{1}{4}$

Dấu "=" $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} b=1& \\ a=1-a& \end{matrix}\right.$$\Rightarrow$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a= \frac{1}{2}& \\ b= 1 & \end{matrix}\right.$
Mình ở Bình Long, vừa rồi bạn mình đi thi mình chỉ chép được mấy câu này, để mình mượn đề 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Taylor: 12-04-2013 - 19:28

[25 minutes]

Cho $0\leq a\leq b\leq 1$, CM: $b^{2}a-a^{2}b\leq \frac{1}{4}$

Có cách khác như sau 

Do $b >a$ nên ta đặt $b=a+x,1>x>0$

Ta cần chứng minh $ax(a+x) \leq \frac{1}{4}$

Áp dụng AM-GM ta có $ax \leq \frac{(a+x)^2}{4}\Rightarrow ax(a+x) \leq \frac{(a+x)^2}{4}(a+x) \leq \frac{(a+x)^3}{4}=\frac{b^3}{4} \leq \frac{1}{4}$

Do đó ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=\frac{1}{2},b=1$

[Tienanh tx]

Cách 4: Ta chứng minh: $ab^2-ba^2 \leq a-a^2 \leq \dfrac{1}{4}$ (biến đổi tương đương hết nhé)

 

$\oplus$ Ta có: $ab^2-ba^2 \leq a-a^2$

$\Longleftrightarrow$ $ba^2-ab^2+a-a^2 \ge 0$

$\Longleftrightarrow$ $(a-ab^2)-(a^2-ba^2) \ge 0$

$\Longleftrightarrow$ $a(1-b)(1+b)-a^2(1-b) \ge 0$

$\Longleftrightarrow$ $(1-b)\left[a(1+b)-a^2 \right] \ge 0$

$\Longleftrightarrow$ $(1-b)\left[a-a^2 \right] \ge 0$ Do $(1+b) \ge 1$

$\Longleftrightarrow$ $(1-b)\left[a(1-a) \right] \ge 0$ (Luôn đúng do $(1-a) \ge 0 ; (1-b) \ge 0 ; a \ge 0$)

 

$\oplus$ Dễ thấy $a-b^2 \leq 0$ 

$\Longleftrightarrow$ $\left(a-\dfrac{1}{2} \right) \ge 0$

 

Từ 2 điều trên $\Longrightarrow$ $QED$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 19-04-2013 - 21:25

[Tienanh tx]

Cách 5: 

$\oplus$ Ta có: $ab^2-ba^2 \leq \dfrac{1}{4}$

$\Longleftrightarrow$ $ba^2-ab^2 + \dfrac{1}{4} \ge 0$

$\Longleftrightarrow$ $\left(ba^2-ba+\dfrac{b}{4} \right) + ba -ab^2 - \dfrac{b}{4} + \dfrac{1}{4} \ge 0$

$\Longleftrightarrow$ $b\left(a^2-a+\dfrac{1}{4} \right) + ba(1-b) + \dfrac{1-b}{4} \ge 0$

$\Longleftrightarrow$ $b\left(a-\dfrac{1}{2} \right)^2 + ba(1-b) + \dfrac{1-b}{4} \ge 0$ (Quá đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 19-04-2013 - 21:59

[Tienanh tx]

Cách 6: 

$\oplus$ Ta có: $ab^2-ba^2 \leq \dfrac{1}{4}$ 

$\Longleftrightarrow$ $4a^2b-4ab^2+1 \ge 0$, Ta đi chứng minh $f(a)=4a^2b-4ab^2+1 \ge 0$

$\oplus$ Ta có:

$\Delta{\mathbf{a}}=(-4b^2)^2-4.4b.1$

$=16b^4-16b $

$= -16b(1-b^3)$

$= -16b(1-b)(b^2+b+1)\leq 0$

$\Longrightarrow$ $f(a)$ luôn cùng dấu với hệ số của $a^2$ là $4b$

Mà $4b \ge 0$ $\Longrightarrow$ $f(a) \ge 0$

$\Longrightarrow$ $QED$

$\oplus$ Dấu $"="$  $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}\Delta = 0& \\ a=\dfrac{4b^2}{8b}& \end{matrix}\right.$

$\Longrightarrow$ $a=\dfrac{1}{2}; b = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 19-04-2013 - 22:44