Chủ đề này có 7 trả lời

[E. Galois]

(Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 

Câu 1:(2.0 điểm)  

Cho biểu thức:

\[P = \frac{{x\sqrt x  + 26\sqrt x  - 19}}{{x + 2\sqrt x  - 3}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 3}}\]

a) Rút gọn $P$.

b) Tìm $x$ để $P$ đạt giá trị nhỏ nhất.

 

Câu 2:(2.0 điểm)

Cho phương trình $x^2  - 2mx + m - 4 = 0$

a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn  $x_1^3  + x_2^3  = 26m$

b) Tìm $m$ nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.

 

Câu 3:(3,5 điểm)

Cho tam giác $ABC$ đều cố định nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Đường thẳng $d$ thay đổi nhưng luôn đi qua $A$ và cắt cung nhỏ $AB$ tại điểm thứ hai là $E (E\neq A)$. Đường thẳng $d$ cắt hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của đường tròn $(O)$ lần lượt tại $M$ và $N$; $MC$ cắt $BN$ tại $F$. Chứng minh rằng:

a) Tam giác $CAN$ đồng dạng với tam giác $BMA$, tam giác $MBC$ đồng dạng với tam giác $BCN$.

b) Tứ giác $BMEF$ là tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh đường thẳng $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $d$ thay đổi nhưng luôn đi qua $A$.

  

Câu 4:(1,5 điểm)

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c =6$. Chứng minh rằng:

\[\frac{{b + c + 5}}{{1 + a}} + \frac{{c + a + 4}}{{2 + b}} + \frac{{a + b + 3}}{{3 + c}} \geq 6\].

Dấu "=" xảy ra khi nào?

 

Câu 5:(1,0 điểm)

Cho $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$. Chứng minh rằng $n^4  + 4^n$ là hợp số.

[nhatquangsin]

Câu 4:

$\frac{b+c+5}{1+a}= \frac{11-a}{1+a}$

$\Leftrightarrow \frac{b+c+5}{1+a}+1=\frac{11-a}{1+a}+1=\frac{12}{1+a}$

Tương tự ta có:

$VT+3=12(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{3+c})\geq 12.\frac{9}{6+a+b+c}=9$

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = khi a=b=c=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 16-04-2013 - 22:57

[DarkBlood]

Câu 4:(1,5 điểm)

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c =6$. Chứng minh rằng:

\[\frac{{b + c + 5}}{{1 + a}} + \frac{{c + a + 4}}{{2 + b}} + \frac{{a + b + 3}}{{3 + c}} \geq 6\].

Dấu "=" xảy ra khi nào?

Câu 4:

Đặt $1+a=x;\ 2+b=y;\ 3+c=z.$ Khi đó:

$$\frac{{b + c + 5}}{{1 + a}} + \frac{{c + a + 4}}{{2 + b}} + \frac{{a + b + 3}}{{3 + c}}=\sum \frac{y+z}{x}=\sum \left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )\geq 6$$

Dấu $"="$ xảy ra khi

 

$\begin{aligned} &\Leftrightarrow x=y=z\\ \\& \Leftrightarrow 1+a=2+b=3+c\\ \\&\Rightarrow 3(1+a)=3(2+b)=3(3+c)=1+2+3+a+b+c=12\\ \\&\Leftrightarrow a=3\ ;\ b=2\ ;\ c=1 \end{aligned}$

 

 

Câu 5:(1,0 điểm)

Cho $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$. Chứng minh rằng $n^4  + 4^n$ là hợp số.

Câu 5:

Trường hợp 1: $n=2k$ $(k\in \mathbb{Z} ^+ ).$ Khi đó $n^4+4^n=16k^4+4^n\ \vdots\ 2$

Mà $n>1$ nên $n^4+4^n>2$

Do đó $n^4+4^n$ là hợp số.

 

Trường hợp 2: $n=2k+1$ $(k\in \mathbb{Z} ^+ ).$

Ta có: 

$\begin{aligned} n^4+4^n&=n^4+2.n^2.2^n+4^n-n^2.2^{n+1}\\& =(n^2+2^n)^2-n^2.2^{n+1}\\& =[n^2+2^{2k+1}]^2-(n.2^{k+1})^2\\& =[n^2+2^{2k+1}-n.2^{k+1}][n^2+2^{2k+1}+n.2^{k+1}]\end{aligned}$

Ta có: $n^2+2^{2k+1}=n^2+2^{2k}+2^{2k}>n^2+2^{2k}+1\geq 2.n.2^k+1=n.2^{k+1}+1$

Do đó: $n^2+2^{2k+1}-n.2^{k+1}>1$

Lại có $n^2+2^{2k+1}+n.2^{k+1}>1$ $(n>1)$

Nên $n^4+4^n$ là hợp số.

 

Vậy $n^4+4^n$ là hợp số với mọi số tự nhiên $n$ lớn hơn $1.$

[Trang Luong]

Áp dụng BĐT AM-GM

Ta có : $\frac{b+c+5}{1+a}=\frac{(1+a)+(b+c+5)}{1+a}-1=\frac{12}{1+a}-1 \Rightarrow \frac{b+c+5}{1+a}+\frac{a+c+4}{2+b}+\frac{a+b+3}{3+c}= 12\left ( \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+3} \right )-3\geq 6$

Dấu = xảy ra khi $a+1=b+2=c+3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=3 & & & \\ b=2 & & & \\ c=1 & & & \end{matrix}\right.$

[Trang Luong]

Câu 2a) Áp dụng định lí Viet ta có : $\left\{\begin{matrix} x_{1}x_{2}=m-4 & & \\ x_{1}+x_{2}=2m & & \end{matrix}\right. \Rightarrow 26m=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left (x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2} \right )=2m\left [ \left ( 2m \right )^{2}-3(m-4) \right ]=2m\left ( 4m^{2}-3m+12 \right )\Leftrightarrow 13=4m^{2}-3m+12\Rightarrow 4m^{2}-3m=1\Rightarrow m=1$

[Trang Luong]

Câu 1: Ta có :  ĐK $x>1$

 

$P = \frac{{x\sqrt x + 26\sqrt x - 19}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}=\frac{{x\sqrt x + 26\sqrt x - 19}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}-\frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}+\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}=\frac{{x\sqrt x + 26\sqrt x - 19}-2x-6\sqrt{x}+x+3-4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}=\frac{-16+16\sqrt{x}-x+x\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}=\frac{16+x}{\sqrt{x}+3}$

[kb1212]

 

Câu 3:(3,5 điểm)

Cho tam giác $ABC$ đều cố định nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Đường thẳng $d$ thay đổi nhưng luôn đi qua $A$ và cắt cung nhỏ $AB$ tại điểm thứ hai là $E (E\neq A)$. Đường thẳng $d$ cắt hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của đường tròn $(O)$ lần lượt tại $M$ và $N$; $MC$ cắt $BN$ tại $F$. Chứng minh rằng:

a) Tam giác $CAN$ đồng dạng với tam giác $BMA$, tam giác $MBC$ đồng dạng với tam giác $BCN$.

b) Tứ giác $BMEF$ là tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh đường thẳng $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $d$ thay đổi nhưng luôn đi qua $A$.

  

 

[lopk23btt]

Câu 2a) Áp dụng định lí Viet ta có : $\left\{\begin{matrix} x_{1}x_{2}=m-4 & & \\ x_{1}+x_{2}=2m & & \end{matrix}\right. \Rightarrow 26m=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left (x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2} \right )=2m\left [ \left ( 2m \right )^{2}-3(m-4) \right ]=2m\left ( 4m^{2}-3m+12 \right )\Leftrightarrow 13=4m^{2}-3m+12\Rightarrow 4m^{2}-3m=1\Rightarrow m=1$

a) m=0; m=1; m=-1/4

b) m=-3;0;1;4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lopk23btt: 18-04-2013 - 23:16