Chủ đề này có 5 trả lời

[4869msnssk]

cho $a\neq b\neq c$ và $\sum \frac{a}{b-c}=0$

CMR : trong 3 số có  1 số dương, 1 số âm

[DarkBlood]

cho $a\neq b\neq c$ và $\sum \frac{a}{b-c}=0$

CMR : trong 3 số có  1 số dương, 1 số âm

Ta có:

$$\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$$

$$\Leftrightarrow \frac{a}{b-c}=-\left (\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b} \right )= \frac{b^2-c^2+ac-ab}{(a-b)(c-a)}$$

$$\Leftrightarrow \frac{a}{(b-c)^2}=-\left (\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b} \right )= \frac{b^2-c^2+ca-ab}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$

Tương tự, ta có:

$$\frac{b}{(c-a)^2}=\frac{c^2-a^2+ab-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$

$$\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{a^2-b^2+bc-ca}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$

 

Do đó: $$\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{b^2-c^2+ca-ab+c^2-a^2+ab-bc+a^2-b^2+bc-ca}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$$

 

Vì $a,\ b,\ c$ có vai trò như nhau nên ta chỉ xét ba trường hợp sau:

 

Trường hợp 1: $\frac{a}{(b-c)^2}=0 \Leftrightarrow a=0$

 

Khi đó: $\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0$

 

Mà $a\neq b \neq c$ nên $b,\ c\neq 0$

 

Do đó để $\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0$ thì trong hai số $\frac{b}{(c-a)^2}$ và $\frac{c}{(a-b)^2}$ phải là hai số khác $0$ đối nhau

 

Tức là trong hai số $\frac{b}{(c-a)^2}$ và $\frac{c}{(a-b)^2}$ phải cố một số âm, một số dương

 

Mà $(c-a)^2\geq 0$ và $(a-b)^2\geq 0$ 

 

Nên một trong hai số $b$ và $c$ có một số âm và một số dương.

 

Trường hợp 2: $\frac{a}{(b-c)^2}>0\Leftrightarrow a>0$

 

Khi đó: $\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}<0$

 

Suy ra một trong hai số $\frac{b}{(c-a)^2}$ và $\frac{c}{(a-b)^2}$ phải có một số âm

 

Mà $(c-a)^2\geq 0$ và $(a-b)^2\geq 0$ 

 

Nên $b<0$ hoặc $c<0$

 

Lại có $a>0$

 

Vậy trong ba số $a,\ b,\ c$ có một số âm và một số dương.

 

Trường hợp 3: $\frac{a}{(b-c)^2}<0\Leftrightarrow a<0$

 

Lập luận tương tự trường hợp 2 ta cũng được: trong ba số $a,\ b,\ c$ có một số âm và một số dương.

 

Từ ba trường hợp trên ta có điều phải chứng minh.

[Trang Luong]

Ta có:

$$\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$$

$$\Leftrightarrow \frac{a}{b-c}=-\left (\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b} \right )= \frac{b^2-c^2+ac-ab}{(a-b)(c-a)}$$

$$\Leftrightarrow \frac{a}{(b-c)^2}=-\left (\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b} \right )= \frac{b^2-c^2+ca-ab}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$

Tương tự, ta có:

$$\frac{b}{(c-a)^2}=\frac{c^2-a^2+ab-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$

$$\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{a^2-b^2+bc-ca}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$

 

Do đó: $$\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{b^2-c^2+ca-ab+c^2-a^2+ab-bc+a^2-b^2+bc-ca}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$$

 

Vì $a,\ b,\ c$ có vai trò như nhau nên ta chỉ xét ba trường hợp sau:

 

Trường hợp 1: $\frac{a}{(b-c)^2}=0 \Leftrightarrow a=0$

 

Khi đó: $\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0$

 

Mà $a\neq b \neq c$ nên $b,\ c\neq 0$

 

Do đó để $\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0$ thì trong hai số $\frac{b}{(c-a)^2}$ và $\frac{c}{(a-b)^2}$ phải là hai số khác $0$ đối nhau

 

Tức là trong hai số $\frac{b}{(c-a)^2}$ và $\frac{c}{(a-b)^2}$ phải cố một số âm, một số dương

 

Mà $(c-a)^2\geq 0$ và $(a-b)^2\geq 0$ 

 

Nên một trong hai số $b$ và $c$ có một số âm và một số dương.

 

Trường hợp 2: $\frac{a}{(b-c)^2}>0\Leftrightarrow a>0$

 

Khi đó: $\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}<0$

 

Suy ra một trong hai số $\frac{b}{(c-a)^2}$ và $\frac{c}{(a-b)^2}$ phải có một số âm

 

Mà $(c-a)^2\geq 0$ và $(a-b)^2\geq 0$ 

 

Nên $b<0$ hoặc $c<0$

 

Lại có $a>0$

 

Vậy trong ba số $a,\ b,\ c$ có một số âm và một số dương.

 

Trường hợp 3: $\frac{a}{(b-c)^2}<0\Leftrightarrow a<0$

 

Lập luận tương tự trường hợp 2 ta cũng được: trong ba số $a,\ b,\ c$ có một số âm và một số dương.

 

Từ ba trường hợp trên ta có điều phải chứng minh.

Mình có cách khác :

$\sum \frac{a}{b-c}=0\Rightarrow \frac{a}{b-c}=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}=\frac{b^{2}-ab+ac-c^{2}}{(c-a)(a-c)}\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^{2}}=\frac{b^{2}-ab+ac-c^{2}}{(c-a)(a-c)(b-c)}$

Chứng minh tương tự : $\Rightarrow \frac{c}{(a-b)^{2}}=\frac{a^{2}-ac+bc-b^{2}}{(c-a)(a-c)(b-c)},\frac{b}{(c-a)^{2}}=\frac{c^{2}-bc+ba-a^{2}}{(c-a)(a-c)(b-c)}$

$\Rightarrow \sum \frac{c}{(a-b)^{2}}=\frac{a^{2}-ac+bc-b^{2}+c^{2}-bc+ba+a^{2}+b^{2}-ab+ac-c^{2}}{(c-a)(a-c)(b-c)}=0$

Vì $\left ( a-b \right )^{2},\left ( b-c \right )^{2},\left ( c-a \right )^{2}>0$$\Rightarrow a,b,c$ sẽ có 1 số dương , 1 số âm (Theo nguyên tắc Điríchlê)

[Christian Goldbach]

Cách khác:

$\sum \frac{a}{b-c}.\sum \frac{1}{b-c}=\sum \frac{a}{(b-c)^2}=0$

Vì $(a-b)^2\geq 0;(b-c)^2\geq 0;(c-a)^2\geq 0\Rightarrow Q.E.D$

[4869msnssk]

Mình có cách khác :

$\sum \frac{a}{b-c}=0\Rightarrow \frac{a}{b-c}=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}=\frac{b^{2}-ab+ac-c^{2}}{(c-a)(a-c)}\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^{2}}=\frac{b^{2}-ab+ac-c^{2}}{(c-a)(a-c)(b-c)}$

Chứng minh tương tự : $\Rightarrow \frac{c}{(a-b)^{2}}=\frac{a^{2}-ac+bc-b^{2}}{(c-a)(a-c)(b-c)},\frac{b}{(c-a)^{2}}=\frac{c^{2}-bc+ba-a^{2}}{(c-a)(a-c)(b-c)}$

$\Rightarrow \sum \frac{c}{(a-b)^{2}}=\frac{a^{2}-ac+bc-b^{2}+c^{2}-bc+ba+a^{2}+b^{2}-ab+ac-c^{2}}{(c-a)(a-c)(b-c)}=0$

Vì $\left ( a-b \right )^{2},\left ( b-c \right )^{2},\left ( c-a \right )^{2}>0$$\Rightarrow a,b,c$ sẽ có 1 số dương , 1 số âm (Theo nguyên tắc Điríchlê)chỗ nàychưa rõ

[Trang Luong]

 

Mình có cách khác :

$\sum \frac{a}{b-c}=0\Rightarrow \frac{a}{b-c}=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}=\frac{b^{2}-ab+ac-c^{2}}{(c-a)(a-c)}\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^{2}}=\frac{b^{2}-ab+ac-c^{2}}{(c-a)(a-c)(b-c)}$

Chứng minh tương tự : $\Rightarrow \frac{c}{(a-b)^{2}}=\frac{a^{2}-ac+bc-b^{2}}{(c-a)(a-c)(b-c)},\frac{b}{(c-a)^{2}}=\frac{c^{2}-bc+ba-a^{2}}{(c-a)(a-c)(b-c)}$

$\Rightarrow \sum \frac{c}{(a-b)^{2}}=\frac{a^{2}-ac+bc-b^{2}+c^{2}-bc+ba+a^{2}+b^{2}-ab+ac-c^{2}}{(c-a)(a-c)(b-c)}=0$

Vì $\left ( a-b \right )^{2},\left ( b-c \right )^{2},\left ( c-a \right )^{2}>0$$\Rightarrow a,b,c$ sẽ có 1 số dương , 1 số âm (Theo nguyên tắc Điríchlê)chỗ nàychưa rõ

 

Vì $\left ( a-b \right )^{2},\left ( b-c \right )^{2},\left ( c-a \right )^{2}>0$

mà $\sum \frac{a}{\left ( b-c \right )^{2}}=0$$\Rightarrow a,b,c$ ko thể cùng âm hoặc cùng dương nên $a,b,c$ có 1 số dương, 1 số âm