Chủ đề này có 3 trả lời

[Sagittarius912]

cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn $x+y+z=1$

Chứng minh rằng:

$0\le xy+yz+zx-2xyz\le \frac{7}{27}$

 

[duaconcuachua98]

cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn $x+y+z=1$

Chứng minh rằng:

$0\le xy+yz+zx-2xyz\le \frac{7}{27}$

$\bigstar$ Ta có: $xy+yz+zx-2xyz=(xy-xyz)+(yz-xyz)+zx=xy(1-z)+yz(1-x)+zx\geq 0$

Dấu "=" xảy ra khi một số bằng $1$, hai số bằng $0$

$\bigstar$ Trong $3$ số $(x-\frac{1}{3});(y-\frac{1}{3});(z-\frac{1}{3})$ thì luôn tồn tại hai số cùng dấu

Giả sử đó là $(x-\frac{1}{3})$ và $(y-\frac{1}{3})$

Suy ra $(x-\frac{1}{3})(y-\frac{1}{3})\geq 0\Rightarrow xy-\frac{1}{3}(x+y)+\frac{1}{9}\geq 0$

$xy\geq \frac{1}{3}(x+y)-\frac{1}{9}=\frac{1}{3}(1-z)-\frac{1}{9}\Rightarrow xyz\geq \frac{1}{3}z(1-z)-\frac{1}{9}z=\frac{-1}{3}z^{2}+\frac{2}{9}z\Rightarrow -2xyz\leq \frac{2}{3}z^{2}-\frac{4}{9}z(1)$

Vì $4xy\leq (x+y)^{2}\Rightarrow xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{(1-z)^{2}}{4}=\frac{z^{2}-2z+1}{4}(2)$

Lại có $yz+zx=z(x+y)=z(1-z)=-z^{2}+z(3)$

Cộng theo vế $(1)$, $(2)$, $(3)$ ta được: $xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{-1}{12}z^{2}+\frac{1}{18}z+\frac{1}{4}=\frac{-1}{12}(z-\frac{1}{3})^{2}+\frac{7}{27}\leq \frac{7}{27}\blacksquare$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

[25 minutes]

cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn $x+y+z=1$

Chứng minh rằng:

$ xy+yz+zx-2xyz\le \frac{7}{27}$

Phần tìm GTLN có thể làm theo $p,q,r$ và Schur

Ta có $\left\{\begin{matrix} p=x+y+z=1\\q=xy+yz+xz \\r=xyz \end{matrix}\right.$

Ta cần chứng minh $q-2r \leq \frac{7}{27}$

Áp dụng bất đẳng thức Schur ta có $r \geq \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{4q-1}{9}$

                                      $\Rightarrow q-2r \leq q-\frac{2(4q-1)}{9}=\frac{q}{9}+\frac{2}{9} \leq \frac{p^2}{27}+\frac{2}{9}=\frac{7}{27}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

[babystudymaths]

Còn có cách khác nữa mà dạng này chắc đến 9 phần 

Ta có $x,y,z\rightarrow \frac{x}{x+y+z},\frac{y}{x+y+z},\frac{z}{x+y+z}$

BĐT cần chứng minh tương đương 

$\frac{xy+yz+xz}{(x+y+z)^{2}}\leq \frac{2xyz}{(x+y+z)^{3}}+\frac{7}{27}$

Quy đồng rồi rút gọn ta được bđt schur --> qed