Chủ đề này có 2 trả lời

[phathuy]

Cho các số a, b, c dương. Chứng minh

$\sqrt{\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )\left ( ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \right )}\geq abc+\sqrt[3]{\left ( a^{3}+abc \right )\left ( b^{3}+abc \right )\left ( c^{3}+abc \right )}$

Mod. Chú ý tiêu đề

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 14-05-2013 - 13:26

[banhgaongonngon]

Cho các số a, b, c dương. Chứng minh

$\sqrt{\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )\left ( ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \right )}\geq abc+\sqrt[3]{\left ( a^{3}+abc \right )\left ( b^{3}+abc \right )\left ( c^{3}+abc \right )}$

 

$BDT\Leftrightarrow \sqrt{\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a} \right )\left ( \frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b} \right )}\geq 1+\sqrt[3]{\prod \left ( \frac{a^{2}}{bc}+1 \right )}$               $(1)$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=\frac{a}{b}\\ y=\frac{b}{c} \\ z=\frac{c}{a} \end{matrix}\right.$ với $xyz=1$

$(1)$ trở thành $\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)}\geq 1+\sqrt[3]{\prod (1+\frac{x}{z})}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)+xyz}\geq 1+\sqrt[3]{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)+1}\geq 1+\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{\prod (x+y)}\left ( \sqrt[3]{\prod \left ( x+y \right )} -2\right )\left ( \sqrt[3]{\prod (x+y)}+1 \right )\geq 0$ đúng

[phathuy]

Xin hỏi tại sao lại nghĩ đến việc chia 2 vế cho abc rồi đặt ẩn như trên. Có những bài nào tương tự như vậy nhưng đơn giản hơn không?

PS: Xin hỏi mod làm cách nào để rút ngắn tiêu đề nếu nó quá dài? Mà kí hiệu $\prod$ nghĩa là gì ạ? Thành thật xin lỗi về tiêu đề.