Chủ đề này có 1 trả lời

[mchkp2000]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=1$
Chứng minh $\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\le\frac{9}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 27-05-2013 - 17:58

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=1$
Chứng minh $\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\ge\frac{9}{2}$

Đây là đề thi Olympic năm nào đó thì phải

BĐT $\Leftrightarrow \sum (\frac{1}{1-ab}-1) \leq \frac{9}{2}-3$

       $\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{1-ab} \leq \frac{3}{2}$

       $\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{2-2ab} \leq \frac{3}{4}$

Xét biểu thức $\frac{ab}{2-2ab}=\frac{ab}{2(a^2+b^2+c^2)-2ab}=\frac{ab}{a^2+b^2+2c^2+(a-b)^2} \leq \frac{ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}$

Do đó ta sẽ chứng minh $\sum \frac{ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)} \leq \frac{3}{4}$

                     $\Leftrightarrow \sum \frac{4ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)} \leq 3$   (*)

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

             $\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} \geq \frac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)} \geq \frac{4ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}$

Tương tự 2 bđt còn lại và để ý $\sum (\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} )=3$ ta có (*) được c/m

Vậy ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$