Chủ đề này có 2 trả lời

[bachhammer]

Cho k là số tự nhiên cho trước. Chứng minh với mọi số tự nhiên n không nhỏ hơn 3 thì:

$n^{n+k}\geq (n+k)^{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 02-06-2013 - 20:47

[25 minutes]

Cho k là số tự nhiên cho trước. Chứng minh với mọi số tự nhiên n không nhỏ hơn 3 thì:

$n^{n+k}\geq (n+k)^{n}$

Trong bài toán này mình sẽ không chứng minh lại bài toán sau đây $(1+\frac{1}{n})^n<3$ với $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$

Ta có $n^{n+k} \geq (n+k)^2\Leftrightarrow n^k >(\frac{n+k}{n})^n=(1+\frac{k}{n})^n$   (*)

Gọi (*) là $1$ mệnh đề

Dễ thấy với $k=1$, (*) trở thành $n >(1+\frac{1}{n})^n$, luôn đúng do $n >3>(1+\frac{1}{n})^n$

Giả sử (*) đúng với $k$, ta phải chứng minh (*) cũng đúng với $k+1$

Tức là phải chứng minh $n^{k+1}>(1+\frac{k+1}{n})^n\Leftrightarrow n^k.n>(\frac{n+k}{n}+\frac{1}{n})^n$

Theo giả thiết quy nạp ta có $n^{k}>(1+\frac{k}{n})^n$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $(1+\frac{k}{n})^n.n >(\frac{n+k}{n}+\frac{1}{n})^n$

                                  $\Leftrightarrow (\frac{n+k}{n})^n.n >(\frac{n+k}{n}+\frac{1}{n})^n$

                                  $\Leftrightarrow n>(\frac{\frac{n+k}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{n+k}{n}})^n=(1+\frac{1}{n+k})^n$

Nhưng bđt trên luôn đúng do $(1+\frac{1}{n+k})^n <(1+\frac{1}{n})^n<3 \leq n$

Vậy (*) đúng với $k+1$

Theo giả thiết quy nạp ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 05-06-2013 - 16:04

[bachhammer]

Trong bài toán này mình sẽ không chứng minh lại bài toán sau đây $(1+\frac{1}{n})^n<3$ với $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$

Ta có $n^{n+k} \geq (n+k)^2\Leftrightarrow n^k >(\frac{n+k}{n})^n=(1+\frac{k}{n})^n$   (*)

Gọi (*) là $1$ mệnh đề

Dễ thấy với $k=1$, (*) trở thành $n >(1+\frac{1}{n})^n$, luôn đúng do $n >3>(1+\frac{1}{n})^n$

Giả sử (*) đúng với $k$, ta phải chứng minh (*) cũng đúng với $k+1$

Tức là phải chứng minh $n^{k+1}>(1+\frac{k+1}{n})^n\Leftrightarrow n^k.n>(\frac{n+k}{n}+\frac{1}{n})^n$

Theo giả thiết quy nạp ta có $n^{k}>(1+\frac{k}{n})^n$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $(1+\frac{k}{n})^n.n >(\frac{n+k}{n}+\frac{1}{n})^n$

                                  $\Leftrightarrow (\frac{n+k}{n})^n.n >(\frac{n+k}{n}+\frac{1}{n})^n$

                                  $\Leftrightarrow n>(\frac{\frac{n+k}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{n+k}{n}})^n=(1+\frac{1}{n+k})^n$

Nhưng bđt trên luôn đúng do $(1+\frac{1}{n+k})^n <(1+\frac{1}{n})^n<3 \leq n$

Vậy (*) đúng với $k+1$

Theo giả thiết quy nạp ta có đpcm

Mình lại ko cần xài phép chứng minh quy nạp. Ta sẽ giải như sau: Cũng chứng minh bất đẳng thức $(1+\frac{1}{n})^{n}<3\leq n\Rightarrow \sqrt[n]{n}\leq\sqrt[n+1]{n+1}$. Xét trường hợp $k=0$ không thể sai được, vì thế nên nó đúng. Xét k khác 0. Khi đó áp dụng bất đẳng thức liên tiếp k lần ta được $\sqrt[n]{n}\leq\sqrt[n+k]{n+k}$. Mũ luỹ thừa hai vế ta có được đpcm. Dấu bằng xảy ra khi k=0,n bất kì.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 06-06-2013 - 08:36