Chủ đề này có 2 trả lời

[25 minutes]

Bài 1: Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng 

           $\sum \frac{a^2}{b} \geqslant \sum \sqrt{2(a^2+b^2)-3ab}$

Bài 2: Cho $a,b,c>0$ và $a^3+b^3+c^3=3$

Chứng minh rằng : $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geqslant 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 17-06-2013 - 16:43

[trauvang97]

Bài 1: Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng 

           $\sum \frac{a^2}{b} \geqslant \sum \sqrt{2(a^2+b^2)-3ab}$

 

Viết lại bất đẳng thức đã cho dưới dạng:

 

$2\left ( \sum \frac{a^{2}}{b} \right )\geq 2(\sum \sqrt{2(a^{2}+b^{2})-3ab})$

 

Ta có: $2\left ( \sum \frac{a^{2}}{b} \right )=\sum \frac{2(a^{2}+b^{2})-3ab}{b}+(3a-2b)+(3b-2c)+(3c-2a)=\sum \frac{2(a^{2}+b^{2}-3ab)}{b}+a+b+c$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

 

$\sum \frac{2(a^{2}+b^{2})-3ab}{b}\geq \frac{(\sum \sqrt{2(a^{2}+b^{2})-3ab})^{2}}{\sum a}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

 

$\frac{(\sum \sqrt{2(a^{2}+b^{2})-3ab})^{2}}{\sum a}+\sum a\geq 2(\sum \sqrt{2(a^{2}+b^{2})-3ab})$

 

Do đó ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 17-06-2013 - 08:39

[banhgaongonngon]

Bài 2: Cho $a,b,c>0$ và $a^3+b^3+c^3=3$

Chứng minh rằng : $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geqslant 3$

 

Ta thấy

$\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )^{3}\geq \frac{1}{3}(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{4}$

và ta có bất đẳng thức mạnh hơn:

$\sum \frac{a^{2}}{b}\geq 3\sqrt[4]{\frac{\sum a^{4}}{3}}$

Xem thêm tại đây:

http://diendantoanho...rt4fraca4b4c43/