Đến nội dung

Hình ảnh

$2) f(-2)=f(-5)=n$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
nhiepphong

nhiepphong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, luôn tồn tại duy nhất đa thức $f(x)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

$1)$ Hệ số của $f$ thuộc $\{ 0,1,2,..,9 \}$

$2) f(-2)=f(-5)=n$
 


[COLOR=red][SIZE=7]hindo hindo hihihihihihihi!!!$$$$

#2
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 18/01 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 25-01-2014 - 11:47

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, luôn tồn tại duy nhất đa thức $f(x)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

$1)$ Hệ số của $f$ thuộc $\{ 0,1,2,..,9 \}$

$2) f(-2)=f(-5)=n$
 

Xét $n$ là số tự nhiên xác định bất kỳ ($n\in N$).Giả sử tồn tại đa thức

$f(x)=Ax^m+Bx^{m-1}+...+Xx^2+Yx+Z$ thoả mãn $f(-2)=f(-5)=n$ (với $A,B,...,X,Y,Z\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$ và $m\in N$)

Ta cần tìm các giá trị thích hợp của $A,B,...,X,Y,Z$ và chứng minh các giá trị đó là duy nhất.

Đặt $n=10k_{1}+b$ ($k_{1}\geqslant 0$ ; $b\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$) ($k_{1}$ và $b$ đều chỉ có giá trị duy nhất)

Ta có $f(-2)\equiv n(mod2)\Rightarrow Z\equiv 10k_{1}+b\equiv b(mod2)$ (1)

$f(-5)\equiv n(mod5)\Rightarrow Z\equiv 10k_{1}+b\equiv b(mod5)$ (2)

Mà $Z,b\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$ (3)

(1),(2),(3) $\Rightarrow Z=b$

Xét $2$ trường hợp :

$1)$ $k_{1}=0$

Khi đó đa thức $f(x)=Z$ là đa thức duy nhất thỏa mãn $2$ điều kiện đề bài (vì $Z=b$ ; $b$ chỉ có giá trị duy nhất và $b\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$)

$2)$ $k_{1}>0$

Đặt $g(x)=f(x)-n=Ax^m+Bx^{m-1}+...+Xx^2+Yx-10k_{1}$

$f(-2)=f(-5)=n\Rightarrow f(-2)-n=f(-5)-n=0\Rightarrow -2$ và $-5$ là $2$ nghiệm của $g(x)$

$\Rightarrow g(x)$ chia hết cho $x^2+7x+10$ (4)

Đặt $g_{1}(x)=-k_{1}x^2-7k_{1}x-10k_{1}\Rightarrow g_{1}(x)$ chia hết cho $x^2+7x+10$ (5)

(4),(5) $\Rightarrow Y-(-7k_{1})\vdots 10$ hay $Y=10k_{2}-7k_{1}$ ($k_{2}\in N$)

Vì $Y\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$ nên $k_{2}$ chỉ có giá trị duy nhất (đó là giá trị sao cho $0\leqslant 10k_{2}-7k_{1}\leqslant 9$, suy ra $k_{2}\leqslant k_{1}< 2k_{2}$) và $Y$ cũng có giá trị duy nhất.

Nhân $k_{2}x$ với $x^2+7x+10$ rồi cộng với $g_{1}(x)$ ta được 

$g_{2}(x)=k_{2}x^3+(7k_{2}-k_{1})x^2+(10k_{2}-7k_{1})x-10k_{1}=A_{2}x^3+B_{2}x^2+Yx-10k_{1}$

(trong đó $A_{2}=k_{2}$ và $5k_{2}<B_{2}=7k_{2}-k_{1}\leqslant 6k_{2}$)

Chọn $k_{3}\in N$ sao cho $0\leqslant X=B_{2}-10k_{3}\leqslant 9$ (suy ra $k_{3}$ và $X$ chỉ có giá trị duy nhất và $k_{3}< k_{2}$)

Nhân $-k_{3}x^2$ với $x^2+7x+10$ rồi cộng với $g_{2}(x)$ ta được

$g_{3}(x)=-k_{3}x^4-(7k_{3}-k_{2})x^3+(B_{2}-10k_{3})x^2+Yx-10k_{1}=A_{3}x^4+B_{3}x^3+Xx^2+Yx-10k_{1}$

Lại chọn $k_{4}\in N$ sao cho $0\leqslant W=10k_{4}-7k_{3}\leqslant 9$ ($k_{4}$ và $W$ chỉ có giá trị duy nhất và $k_{4}\leqslant k_{3}< 2k_{4}$) 

Rồi nhân $k_{4}x^3$ cho $x^2+7x+10$ rồi cộng với $g_{3}(x)$ được

$g_{4}(x)=k_{4}x^5+(7k_{4}-k_{3})x^4+(10k_{4}-7k_{3})x^3+Xx^2+Yx-10k_{1}=A_{4}x^5+B_{4}x^4+Wx^3+Xx^2+Yx-10k_{1}$ 

(Cứ thế tiếp tục ...)

Nhận xét : $\forall i\in N,i\geqslant 2$, ta có :

$1)$ $\left | A_{i} \right |=k_{i}$ ; $\left | B_{i} \right |=\left | 7k_{i}-k_{i-1} \right |\leqslant 6k_{i}$

Mà $7k_{i}-k_{i-1}> 0$ nên $A_{i}$ và $B_{i}$ luôn cùng dấu $\Rightarrow \frac{B_{i}}{A_{i}}\leqslant 6$

$2)$ $k_{i}\leqslant k_{i-1}< 2k_{i}$ nếu $i$ chẵn ; $k_{i}< k_{i-1}$ nếu $i$ lẻ

Do đó khi $i$ tăng thì đến một lúc nào đó (khi $i=p$, $p$ chẵn), ta chắc chắn sẽ có $A_{p}=k_{p}=1$ và $5A_{p}< B_{p}\leqslant 6A_{p}$ (vì khi $p$ chẵn thì $k_{p}\leqslant k_{p-1}< 2k_{p}$) $\Rightarrow B_{p}=6$ ($A_{p}$ và $B_{p}$ đều chỉ có giá trị duy nhất)

Rõ ràng khi đó :

$g_{p}(x)=A_{p}x^{p+1}+B_{p}x^p+...+Xx^2+Yx-10k_{1}$ có tất cả các hệ số (trừ hệ số tự do cuối cùng) thuộc $\left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$

và $g_{p}(x)$ chia hết cho $x^2+7x+10$ $\Rightarrow g_{p}(-2)=g_{p}(-5)=0$

$\Rightarrow f_{p}(x)=g_{p}(x)+n=A_{p}x^{p+1}+B_{p}x^p+...+Xx^2+Yx+Z$ (trong đó $A_{p},B_{p},...,X,Y,Z$ được xác định như đã nói rõ ở trên, chỉ có giá trị duy nhất) chính là đa thức duy nhất thỏa mãn cả $2$ điều kiện trong đề bài.

(Đó cũng chính là đa thức $f(x)$ đã nói ở trên nếu ta đặt $A=A_{p}$, $B=B_{p}$ và $m=p+1$)

 

Vậy bài toán đã được chứng minh cho cả $2$ trường hợp $k_{1}=0$ và $k_{1}>0$, tức là đúng với mọi $n\in N$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 19-01-2014 - 18:17

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh