Chủ đề này có 3 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho $\Delta ABC.$ Chứng minh: $\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2} \leqslant \frac{1}{8}$ và dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

[Juliel]

Đề sai rồi bạn, khi cho $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^{\circ}$ thì $\sum sin\frac{A}{2}=\frac{3}{2}$

Đề đúng là : $\prod sin\frac{A}{2}\leq \frac{1}{8}$

 

Ta chứng minh bằng phương pháp hình học

Xét tam giác ABC có phân giác AD. Kẻ BH, CK vuông góc với AD

$sin\frac{A}{2}=\frac{BH}{AB}=\frac{CK}{AC}=\frac{BH+CK}{AB+AC}\leq \frac{BD+CD}{AB+AC}=\frac{a}{b+c}\leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}$

 

Thiết lập các BĐT tương tự, ta có :

$\prod sin\frac{A}{2}\leq \frac{a.b.c}{2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}.2\sqrt{ab}}=\frac{1}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 25-06-2013 - 10:41

[25 minutes]

Cho $\Delta ABC.$ Chứng minh: $\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2} \leqslant \frac{1}{8}$ và dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

Ta có $\sin x+ \sin y =2 \ sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}\leqslant 2\sin \frac{x+y}{2}$

          $\sin z+ \sin \frac{x+y+z}{3} =2 \ sin \frac{x+y+4z}{6} \cos \frac{2z-(x+y)}{6}\leqslant 2\sin \frac{x+y+4z}{6}$

Cộng 2 bất đẳng thức trên lại ta được

 $\sin x+ \sin y+\sin z+ \sin \frac{x+y+z}{3} \leqslant 2+\sin \frac{x+y}{2}+2\sin \frac{x+y+4z}{6} \leqslant 4\sin \frac{x+y+z}{3}$

Từ đó ta có $\sin x+ \sin y+\sin z \leqslant 3\sin \frac{x+y+z}{3}$

Áp dụng trên ta được $\sin \frac{A}{2}+ \sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2} \leqslant 3\sin \frac{A+B+C}{6}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $A=B=C$

P/S : Chắc bạn này đánh nhầm, phải là chứng minh $\prod \sin \frac{A}{2}\leqslant \frac{1}{8}$

Khi đó sử dụng Am-GM ta có ngay $\prod \sin \frac{A}{2}\leqslant \frac{(\sum \sin \frac{A}{2})^3}{27} \leqslant \frac{1}{8}$

[banhgaongonngon]

Cho $\Delta ABC.$ Chứng minh: $\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2} \leqslant \frac{1}{8}$ và dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

 

$\sin^{2} \frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2}=\frac{1-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}{2}=\frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{4bc}\leq \frac{a^{2}}{4bc}$

Do $\sin \frac{A}{2}>0\Rightarrow \sin \frac{A}{2}\leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}$

Lập các bất đẳng thức tương tự, ta có đpcm