tập ảnh

Tìm tất cả http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn .

Nhìn lại các bài toán của Korea 2002

Bài này các bác,các chú chịu rồi à?Hay tại cái tập mà y chạy?Nếu vậy để nó như thế này đi :f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y)) với mọi x,y thực.
Bây giờ chắc là dễ rồi ?

Nói vậy mà không ai hưởng ứng vậy đành ghi điểm vậy Nếu f là hàm thỏa mãn thì đặt f(0)=c và cho x=y ta có f(y)=(c-y^2)/2 với mỗi y thuộc Imf,có thể thấy là hàm 0 không thỏa mãn,vậy có y 0 nằm trong Imf với y này thay x bởi x/y trong đ/k ta có :Với mỗi x thực thì x=a-b-d với a,b,d Imf.Suy ra f(x)=f(a-b-d)=f(a-b)+(a-b)d+(c-d^2)/2=f(a)+ab+(c-b^2)/2+(a-b)d+(c-d^2)/2=(c-a^2)/2+ab+(c-b^2)/2+(a-b)d+(c-d^2)/2=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{3c-(b+d-a)^2}{2}=\dfrac{3c-x^2}{2}.Thử lại thấy c=o và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(x)=-\dfrac{x^2}{2}.