|z|=1

Tìm số nguyên dương http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n lớn nhất sao cho:Với mỗi số phức http://dientuvietnam...imetex.cgi?(z 1)^n=z^n+1 ta đều có http://dientuvietnam...etex.cgi?|z|=1.

Nhìn lại các bài toán của China TST 1989

Ta xét http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?z_0=-1/2+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\overline{z_0}=-1/2-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Chú ý rằng http://dientuvietnam...etex.cgi?(z-z_0)(z-\overline{z_0})=z^2+z+1. Nên, nếu gọi m là số bội của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?z_0 ( http://dientuvietnam...mimetex.cgi?z_0 là nghiệm bội m), thì ta có thể viết Q(z) dưới dạng sau: http://dientuvietnam...tex.cgi?n=2m 3.
So sánh hệ số http://dientuvietnam...mimetex.cgi?z^2 của Q(z) theo hai biểu diễn (1) và (2), ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}=n\left(1+\dfrac{m(m-1)}{2}+m\right). Từ đây http://dientuvietnam...mimetex.cgi?m=1 hay http://dientuvietnam...imetex.cgi?n=5.

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n=5 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy số lớn nhất là n=5.